[Q2] Considere a funçăo:
f(x, y)=ll sin (x^4+y^4)x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)
(a) (2.0 poptos) Mostre que f é contínua em ( 0,0 ).
(b) (1.3 pontos) Calcule a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto (0,0,0).

Passo 1

Estamos com a função de duas variáveis
f(x,y)=dfracsin(x^4+y^4)x^2+y^2,&(x,y)neq(0,0)0,&(x,y)=(0,0)
O conteúdo envolve limite em duas variáveis (continuidade) e plano tangente (parciais em (0,0)). Para resolver vamos usar estimativas de limite e definição de derivadas parciais.

Passo 2

Para mostrar que f é contínua em (0,0), precisamos ver que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0
Note que
|f(x,y)|=|sin(x^4+y^4)x^2+y^2|<=|x^4+y^4|x^2+y^2
e usando que
x^4x^2+y^2<= x^2, y^4x^2+y^2<= y^2,
temos
|f(x,y)|<= x^2+y^2to0quando (x,y)to(0,0)
Logo f(x,y)to0=f(0,0), ou seja, é contínua.

Passo 3

Para obter o plano tangente em (0,0,0) usamos a fórmula
z=f(0,0)+fx(0,0)x+fy(0,0)y
Precisamos de fx(0,0) e fy(0,0). Por definição,
fx(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h= limhto0sin(h^4)h^2-0h= limhto0sin(h^4)h^3
Como sin(h^4)sim h^4 para pequeno h, temos
sin(h^4)h^3simh^4h^3=hto0
Logo fx(0,0)=0. De modo análogo, fy(0,0)=0.

Passo 4

Substituindo no plano tangente:
z=0+0cdot x+0cdot y=0

Resposta

O plano tangente é z=0.

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