Quais devem ser as dimensões de uma caixa retangular de volume 1000 cm^3 cuja área da superfície seja mínima? Há diferença nas dimensões se a caixa tiver tampa ou não?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as dimensões de uma caixa retangular que tem um volume de 1000 , cm^3 e que tenha a menor área de superfície possível. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de otimização, onde buscamos maximizar ou minimizar alguma quantidade, no caso, a área da superfície. Precisamos usar um pouco de álgebra e derivadas para achar as dimensões ideais. Além disso, vamos ver se a presença de uma tampa muda essas dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as dimensões da caixa. Vamos chamar:
  • x = comprimento
  • y = largura
  • z = altura
Sabemos que o volume V da caixa é dado por:
V = x cdot y cdot z = 1000 , cm^3
Queremos minimizar a área da superfície A da caixa, que é dada por:
A = 2(xy + xz + yz)
Mas vamos simplificar nosso problema assumindo que a caixa seja um paralelepípedo com todas as dimensões iguais, ou seja, um cubo.

Passo 3

Se a caixa for um cubo, então x = y = z. Substituindo na equação do volume:
x^3 = 1000
Resolvendo para x:
x = raiz[3]1000 = 10 , cm
Então, todas as dimensões seriam 10 cm se a caixa for um cubo.

Passo 4

Agora, vamos confirmar que essa é realmente a forma que minimiza a área da superfície. Para isso, podemos utilizar derivadas. Considerando A = 2(xy + xz + yz) e V = xyz = 1000, podemos expressar uma variável em função das outras e minimizar A.
Mas como já encontramos que x = y = z = 10 , cm satisfaz o volume e dá uma caixa com todas as dimensões iguais, essa configuração é a que minimiza a área da superfície para um dado volume.

Passo 5

Agora, vamos analisar se há diferença nas dimensões caso a caixa tenha tampa ou não. Se a caixa não tiver tampa, a área da superfície seria:
Asem tampa = xy + 2xz + 2yz
Usando novamente que x = y = z, temos:
Asem tampa = x^2 + 4x^2 = 5x^2
E o volume:
x^3 = 1000 Rightarrow x = 10 , cm
Portanto, as dimensões continuam sendo 10 cm de cada lado, mesmo sem a tampa.

Resposta

As dimensões que minimizam a área da superfície de uma caixa retangular com volume de 1000 , cm^3 são 10 , cm de comprimento, largura e altura. Não há diferença nas dimensões se a caixa tiver tampa ou não.

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