Quais devem ser as dimensões de uma caixa retangular de volume
cuja área da superfĂcie seja mĂnima? Há diferença nas dimensões se a caixa tiver tampa ou nĂŁo?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as dimensões de uma caixa retangular que tem um volume de
e que tenha a menor área de superfície possível. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de otimização, onde buscamos maximizar ou minimizar alguma quantidade, no caso, a área da superfície. Precisamos usar um pouco de álgebra e derivadas para achar as dimensões ideais. Além disso, vamos ver se a presença de uma tampa muda essas dimensões.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as dimensões da caixa. Vamos chamar:
-
= comprimento -
= largura -
= altura
Sabemos que o volume
da caixa é dado por:
Queremos minimizar a área da superfície
da caixa, que é dada por:
Mas vamos simplificar nosso problema assumindo que a caixa seja um paralelepípedo com todas as dimensões iguais, ou seja, um cubo.
Passo 3
Se a caixa for um cubo, então
. Substituindo na equação do volume:
Resolvendo para
:
Então, todas as dimensões seriam 10 cm se a caixa for um cubo.
Passo 4
Agora, vamos confirmar que essa é realmente a forma que minimiza a área da superfície. Para isso, podemos utilizar derivadas. Considerando
e
, podemos expressar uma variável em função das outras e minimizar
.
Mas como já encontramos que
satisfaz o volume e dá uma caixa com todas as dimensões iguais, essa configuração é a que minimiza a área da superfície para um dado volume.
Passo 5
Agora, vamos analisar se há diferença nas dimensões caso a caixa tenha tampa ou não. Se a caixa não tiver tampa, a área da superfície seria:
Usando novamente que
, temos:
E o volume:
Portanto, as dimensões continuam sendo 10 cm de cada lado, mesmo sem a tampa.
Resposta
As dimensões que minimizam a área da superfície de uma caixa retangular com volume de
são
de comprimento, largura e altura. Não há diferença nas dimensões se a caixa tiver tampa ou não.