(Interpretação geométrica) Considere a função f(x)=x^{3}-48 x. Calcule f^{\prime}(-4) e f^{\prime \prime}(-4). Em seguida, responda: o que esses quantidades obtidas representam geometricamente? f^{\prime}(-4) é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função f no ponto (-4,128), Como f^{\prime}(-4)=0, esse ponto é um ponto crítico. Como f^{\prime \prime}(-4)=-24<0, esse ponto é máximo local.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • A função dada é f(x)=x^{3}-48x.
  • O enunciado pede:
    1. Calcular f^{\prime}(-4).
    2. Calcular f^{\prime\prime}(-4).
    3. Explicar geometricamente o que esses números representam (interpretação geométrica).
  • Também é fornecido o ponto (-4,128) — isto é, f(-4)=128 (essa informação será útil para falar da reta tangente).

Passo 2

Definição e regra para calcular a derivada primeira.
  • Definição (intuição formal): a derivada de f num ponto a é o limite da taxa de variação média quando o incremento tende a zero:
f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Aqui f'(a) representa o coeficiente angular (a inclinação) da reta tangente ao gráfico de f no ponto (a,f(a)).
  • Regra prática (regra do poder): para potências, \dfrac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n x^{n-1}. Para uma constante multiplicando, \dfrac{d}{dx}\bigl(c\cdot g(x)\bigr)=c\cdot g'(x). Essas regras permitem calcular derivadas sem usar o limite diretamente.
Agora aplico essas regras em f(x)=x^{3}-48x.

Passo 3

Calcular f'(x) e em seguida f'(-4).
  • Derivando termo a termo:
\text{Se } f(x)=x^{3}-48x,\quad\text{então}\quad f'(x)=\frac{d}{dx}(x^{3})-\frac{d}{dx}(48x)=3x^{2}-48.ã
(Na derivada de x^{3} usei 3x^{2}; na de 48x a constante 48 permanece e \dfrac{d}{dx}x=1.)
  • Avaliando em x=-4:
f'(-4)=3(-4)^{2}-48=3\cdot 16-48=48-48=0.
Portanto f'(-4)=0.

Passo 4

Interpretação imediata de f'(-4)=0 e equação da reta tangente.
  • Significado: f'(-4) é a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (-4,f(-4)). Como f'(-4)=0, a reta tangente é horizontal nesse ponto (coeficiente angular zero).
  • Para usar a reta tangente, precisamos de f(-4). Calculando:
f(-4)=(-4)^{3}-48(-4)=-64+192=128,
confirmando o ponto (-4,128) dado.
  • A equação da reta tangente em x=-4 é
y=f(-4)+f'(-4)(x+4)=128+0\cdot(x+4)=128.
Ou seja, a reta tangente é a reta horizontal y=128.

Passo 5

Definição e cálculo da derivada segunda.
  • Definição: a derivada segunda f''(x) é a derivada da derivada, ou seja f''(x)=(f'(x))'. Geometricamente, f''(x) mede a concavidade do gráfico em x: se f''(x)>0 o gráfico é côncavo para cima (forma de “taça”), se f''(x)<0 é côncavo para baixo (forma de “teto”).
  • Calculando f''(x): já temos f'(x)=3x^{2}-48. Derivando novamente:
f''(x)=\frac{d}{dx}(3x^{2}-48)=6x.
  • Avaliando em x=-4:
f''(-4)=6\cdot(-4)=-24.
Portanto f''(-4)=-24.

Passo 6

Interpretação geométrica combinada e teste da segunda derivada.
  • Resumo dos valores: f'(-4)=0 e f''(-4)=-24.
  • Interpretação:
    • f'(-4)=0 significa que a reta tangente em (-4,128) é horizontal (coeficiente angular zero). Esse ponto é um ponto crítico (derivada primeira nula).
    • f''(-4)=-24<0 significa que o gráfico é côncavo para baixo em x=-4. Quando num ponto crítico a segunda derivada é negativa, temos um máximo local (isso é o critério da segunda derivada: se f'(a)=0 e f''(a)<0 então f tem um máximo local em a).
  • Intuição: a tangente horizontal e a concavidade para baixo dizem que a curva tem a forma de um “pico” ali — valores imediatamente à esquerda e à direita de -4 ficam abaixo de 128, logo (-4,128) é um máximo local.

Resposta

f'(-4)=0
f''(-4)=-24
Geometricamente: f'(-4)=0 indica reta tangente horizontal em (-4,128) (ponto crítico); f''(-4)=-24<0 indica concavidade para baixo aí, logo (-4,128) é um máximo local.

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