(Interpretação geométrica) Considere a função
. Calcule
e
. Em seguida, responda: o que esses quantidades obtidas representam geometricamente?
é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função
no ponto
, Como
, esse ponto é um ponto crítico. Como
, esse ponto é máximo local.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- A função dada é
. - O enunciado pede:
- Calcular
. - Calcular
. - Explicar geometricamente o que esses números representam (interpretação geométrica).
- Calcular
- Também é fornecido o ponto
— isto é, (essa informação será útil para falar da reta tangente).
Passo 2
Definição e regra para calcular a derivada primeira.
- Definição (intuição formal): a derivada de
num ponto é o limite da taxa de variação média quando o incremento tende a zero:
Aqui
representa o coeficiente angular (a inclinação) da reta tangente ao gráfico de
no ponto
.
- Regra prática (regra do poder): para potências,
. Para uma constante multiplicando, . Essas regras permitem calcular derivadas sem usar o limite diretamente.
Agora aplico essas regras em
.
Passo 3
Calcular
e em seguida
.
- Derivando termo a termo:
(Na derivada de
usei
; na de
a constante 48 permanece e
.)
- Avaliando em
:
Portanto
.
Passo 4
Interpretação imediata de
e equação da reta tangente.
- Significado:
é a inclinação da reta tangente ao gráfico de no ponto . Como , a reta tangente é horizontal nesse ponto (coeficiente angular zero). - Para usar a reta tangente, precisamos de
. Calculando:
confirmando o ponto
dado.
- A equação da reta tangente em
é
Ou seja, a reta tangente é a reta horizontal
.
Passo 5
Definição e cálculo da derivada segunda.
- Definição: a derivada segunda
é a derivada da derivada, ou seja . Geometricamente, mede a concavidade do gráfico em : se o gráfico é côncavo para cima (forma de “taça”), se é côncavo para baixo (forma de “teto”). - Calculando
: já temos . Derivando novamente:
- Avaliando em
:
Portanto
.
Passo 6
Interpretação geométrica combinada e teste da segunda derivada.
- Resumo dos valores:
e . - Interpretação:
-
significa que a reta tangente em é horizontal (coeficiente angular zero). Esse ponto é um ponto crítico (derivada primeira nula). -
significa que o gráfico é côncavo para baixo em . Quando num ponto crítico a segunda derivada é negativa, temos um máximo local (isso é o critério da segunda derivada: se e então tem um máximo local em ).
-
- Intuição: a tangente horizontal e a concavidade para baixo dizem que a curva tem a forma de um “pico” ali — valores imediatamente à esquerda e à direita de
ficam abaixo de , logo é um máximo local.
Resposta
Geometricamente: