1. Determine o ponto da elipse x^2+4 y^2=16 mais próximo da reta x-y=10.

Passo 1

Estamos procurando o ponto (x,y) sobre a elipse
x^2+4y^2=16
que minimiza a distância até a reta
x - y = 10
A distância de (x,y) até essa reta é
d = l|,x - y - 10r|raiz1^2+(-1)^2 = l|,x - y -10r|raiz2
Como raiz2 é constante, basta minimizar
f(x,y) = l(x - y - 10r)^2
sujeito à restrição
g(x,y) = x^2+4y^2-16 = 0
Vamos usar multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Formamos o sistema de Lagrange com
nabla f(x,y) = lambda,nabla g(x,y),[6pt] g(x,y)=0
Calculando os gradientes:
nabla f = l(2(x - y - 10),,-2(x - y - 10)r), , nabla g = (2x,,8y)
Logo o sistema é
2(x - y - 10) = lambda,2x, , -2(x - y - 10) = lambda,8y, , x^2+4y^2=16 ]

Passo 3

Das duas primeiras equações obtemos
x - y - 10 = lambda,x, -(x - y - 10) = 4lambda,y
Se x - y - 10neq0, podemos dividir e achar
-1 = 4yx Longrightarrow y = -x4

Passo 4

Substituindo y = -tfracx4 na equação da elipse,
x^2 + 4l(-tfracx4r)^2 = 16 Longrightarrow x^2 + x^24 = 16 Longrightarrow 54x^2 = 16 Longrightarrow x^2 = 645
Assim
x = pm 8raiz5, y = -x4 = mp 2raiz5

Passo 5

Ficam duas opções:
P1!l(tfrac8raiz5,-tfrac2raiz5r) e P2!l(-tfrac8raiz5,tfrac2raiz5r)
Para P1, o numerador x - y -10approx -5,528 e para P2 ele é approx -14,472. Como queremos o menor valor absoluto, P1 dá a distância mínima.

Resposta

O ponto da elipse mais próximo da reta é
l(tfrac8raiz5,,-tfrac2raiz5r)

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