Exarcicao 1.14. Encontre a série de Maclaurin das funçōes.
(a) e^x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a série de Maclaurin da função e^x, ou seja, expandir e^x em potência de x em torno de zero. Isso faz parte do conteúdo de séries de Taylor/Maclaurin.

Passo 2

Lembrando que a série de Maclaurin de uma função f infinitamente diferenciável em torno de x=0 é dada por
f(x)=sumn=0^inftyf^(n)(0)n!,x^n
Vamos aplicar essa fórmula para f(x)=e^x.

Passo 3

Para f(x)=e^x temos
f^(n)(x)=e^x
para todo n. Em particular,
f^(n)(0)=e^0=1
para todo n.

Passo 4

Substituindo f^(n)(0)=1 na fórmula da série, obtemos
sumn=0^infty1n!,x^n
que é exatamente a expansão de Maclaurin de e^x.

Resposta

e^x = sumn=0^inftyx^nn!

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