Exzrcicio 1.13. Aplicando diferenciação e integração termo a termo, encontre a soma das seguintes séries:
(c) x+x^33+x^55+cdots+x^2 n-12 n-1+cdots

Passo 1

O enunciado pede a soma da série
S(x)=sumn=1^infty x^2n-12n-1 =x+x^33+x^55+cdots
O conteúdo necessário é séries de potências e diferenciação/integração termo a termo.

Passo 2

Diferenciando termo a termo em x, obtemos
S'(x)=sumn=1^infty ddxl(x^2n-1r)12n-1 =sumn=1^infty x^2n-2 =sumk=0^infty x^2k

Passo 3

A soma da série geométrica é
sumk=0^infty x^2k=11-x^2, |x|<1,
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S'(x)=11-x^2

Passo 4

Integramos em relação a x:
S(x)=integral 11-x^2,dx
Sabemos que
integral 11-x^2,dx =12ln!l(1+x1-xr)+C

Passo 5

Para achar a constante C, usamos S(0)=0. Substituindo x=0 em
S(0)=12ln!l(1+01-0r)+C =0+C,
vemos que C=0. Portanto
S(x)=12ln!l(1+x1-xr)

Resposta

x+x^33+x^55+cdots =12ln!l(1+x1-xr), |x|<1

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