Exzrcicio 1.13. Aplicando diferenciação e integração termo a termo, encontre a soma das seguintes séries:
(b) x-x^22+x^33-cdots+(-1)^n-1 x^nn+cdots

Passo 1

O enunciado pede a soma da série
S(x)=sumn=1^infty(-1)^,n-1x^nn
usando diferenciação e integração termo a termo. O conteúdo envolvido é série de potências e operações termo a termo (derivação e integração).

Passo 2

Vamos diferenciar S(x) termo a termo. Cada termo é (-1)^,n-1x^n/n, cuja derivada em relação a x é
ddxl[(-1)^,n-1x^nnr] =(-1)^,n-1x^n-1
Logo,
S'(x)=sumn=1^infty(-1)^,n-1x^n-1

Passo 3

Reconhecemos a série em S'(x) como uma série geométrica:
S'(x)=sumk=0^infty(-1)^kx^k =11+ x,
válida para lvert xrvert<1.

Passo 4

Agora integramos S'(x) para recuperar S(x). Temos
S(x)=integral S'(x),dx =integral11+x,dx =lnl(1+xr)+C

Passo 5

Para achar a constante C, usamos S(0). Pela definição da série,
S(0)=sumn=1^infty(-1)^,n-10^nn=0
Também em S(x)=ln(1+x)+C, para x=0 obtemos 0=ln1+C, ou seja, C=0.

Passo 6

Portanto a soma da série é
S(x)=lnl(1+xr),
com raio de convergência lvert xrvert<1.

Resposta

ln(1+x)

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