Exzrcicio 1.13. Aplicando diferenciação e integração termo a termo, encontre a soma das seguintes séries:
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede a soma da série
usando diferenciação e integração termo a termo. O conteúdo envolvido é série de potências e operações termo a termo (derivação e integração).
Passo 2
Vamos diferenciar
termo a termo. Cada termo é
, cuja derivada em relação a
é
Logo,
Passo 3
Reconhecemos a série em
como uma série geométrica:
válida para
.
Passo 4
Agora integramos
para recuperar
. Temos
Passo 5
Para achar a constante
, usamos
. Pela definição da série,
Também em
, para
obtemos
, ou seja,
.
Passo 6
Portanto a soma da série é
com raio de convergência
.