Encontre todas as derivadas parciais de primeira ordem:
f(x, y, z)=2^{x} 4^{y} 3^{z}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem de
f(x,y,z)=2^{x}\,4^{y}\,3^{z}.
O conteúdo envolve derivada de função exponencial do tipo a^{u}, cuja regra é
\frac{d}{du}\bigl(a^{u}\bigr)=a^{u}\ln(a),
e nas derivadas parciais tratamos as outras variáveis como constantes.

Passo 2

Para \frac{\partial f}{\partial x} mantemos y e z constantes. Como
\frac{d}{dx}\bigl(2^{x}\bigr)=2^{x}\ln(2),
temos
\frac{\partial f}{\partial x} =\bigl(2^{x}\ln(2)\bigr)\,4^{y}\,3^{z} =2^{x}4^{y}3^{z}\,\ln(2).

Passo 3

Para \frac{\partial f}{\partial y} mantemos x e z constantes. Como
\frac{d}{dy}\bigl(4^{y}\bigr)=4^{y}\ln(4),
segue
\frac{\partial f}{\partial y} =2^{x}\,\bigl(4^{y}\ln(4)\bigr)\,3^{z} =2^{x}4^{y}3^{z}\,\ln(4).

Passo 4

Para \frac{\partial f}{\partial z} mantemos x e y constantes. Como
\frac{d}{dz}\bigl(3^{z}\bigr)=3^{z}\ln(3),
resulta
\frac{\partial f}{\partial z} =2^{x}4^{y}\,\bigl(3^{z}\ln(3)\bigr) =2^{x}4^{y}3^{z}\,\ln(3).

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=2^{x}4^{y}3^{z}\,\ln(2)
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=2^{x}4^{y}3^{z}\,\ln(4)
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}=2^{x}4^{y}3^{z}\,\ln(3)

Exercícios relacionados