Determine um ponto da função
, em que a primeira derivada de
se anula, usando o Método de Newton com
. O ponto encontrado é um ponto de mínimo da função dada? Justifique teoricamente suas afirmações.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Encontrar um ponto da função
em que a primeira derivada se anula, usando o Método de Newton com . - Dizer se o ponto encontrado é um ponto de mínimo da função, justificando teoricamente.
Informações relevantes dadas:
- A função é
. - Precisamos resolver
numericamente com Newton e tolerância . - Não foi dado palpite inicial; vou escolher um palpite razoável e explicar por que.
Passo 2
Primeiro vamos derivar e preparar o problema para o Método de Newton.
A primeira derivada é
Denotando
, queremos resolver
.
No Método de Newton para encontrar raiz de
usa-se a iteração
onde
é a derivada de
. Aqui
Explicando de verdade o que cada coisa significa:
-
é a função cuja raiz buscamos (aqui, a derivada de ). -
é a taxa de variação de ; o Newton usa essa inclinação para fazer uma aproximação linear e melhorar o palpite. - A iteração transforma um palpite
num palpite melhor . Repetimos até que a diferença entre iterações seja menor que a tolerância (critério que vou usar aqui).
Critério de parada (que escolhi): parar quando
com
. Isso é prático em provas e dá controle sobre a precisão do valor de
.
Passo 3
Escolha do palpite inicial: como
e
, existe uma raiz entre
e
. Um palpite central e simples é
. (Se quiser na prova, justificar rápido: muda de sinal entre 0 e 1, então comece por 0,5 ou 0,6.)
Agora efetuamos as iterações de Newton com cálculo passo a passo (vou arredondar números para 6 casas decimais nas operações, apresentando as contas essenciais).
Definimos:
Iteração 0:
Calcule
e
:
Aplicando Newton:
Diferença
, continua.
Iteração 1:
Calcule
e
(valores aproximados):
Aplicando Newton:
Diferença
. Portanto o critério de parada foi satisfeito e podemos aceitar
como aproximação da raiz.
Passo 4
Conclusão numérica das iterações:
- A iteração parou com
(arredondando às casas usadas nas contas). - Isto significa que encontramos
tal que dentro da tolerância pedida.
Relembre: tudo no Newton é aproximado; a diferença entre iterações menor que
garante que
está estável com erro na ordem de
.
Passo 5
Agora classificamos o ponto usando o teste da segunda derivada.
A segunda derivada já tínhamos:
Avalie em
. Podemos usar o valor já calculado para
como boa aproximação; numericamente obtivemos
(positivo).
Teorema/justificativa teórica (segundo teste):
- Se
e , então é um ponto de mínimo local de . - Se
, então é máximo local. - Se
, o teste é inconclusivo.
Como em nosso caso
e
, concluímos teoricamente que
é um ponto de mínimo local de
.
Pequena observação de amigo: poderíamos verificar
positivo numa vizinhança para reforçar, mas o teste da segunda derivada já dá a garantia local necessária.
Resposta
Sim. É um ponto de mínimo local, pois
.