Determine \bar{x} tal que f(\bar{x})=0, em que f(x)=x^{3}-\cos (x)+2, usando:
Método de Newton com \varepsilon=0.001

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado:
  • Pedido: determinar \bar{x} tal que f(\bar{x})=0.
  • Função dada: f(x)=x^{3}-\cos(x)+2.
  • Método exigido: Método de Newton com \varepsilon=0,001.
Resumo: preciso aplicar o Método de Newton (iterações) até que a aproximação seja boa o suficiente segundo \varepsilon=0,001. Não foi dado palpite inicial, então vou escolher um x_{0} razoável (mostro a escolha no próximo passo).

Passo 2

O que é o Método de Newton e qual critério de parada vou usar
  • Fórmula de iteração do Método de Newton:
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})},
onde f'(x) é a derivada de f. A ideia é usar a reta tangente em x_n para aproximar a raiz.
  • Escolha do critério de parada: como o objetivo é achar x tal que f(x)=0, vou usar o critério
\text{parar quando }|f(x_{n})|<\varepsilon,
ou seja, a aproximação é boa quando o valor absoluto de f no ponto atual é menor que 0,001. (Outra escolha comum é parar quando |x_{n+1}-x_n|<\varepsilon; explico por que escolhi a condição sobre f: queremos a raiz de f, então controlar o resíduo |f(x)| é direto e coerente com o objetivo.)

Passo 3

Calcular a derivada f'(x) (passo obrigatório para Newton)
Derivando f(x)=x^{3}-\cos(x)+2:
  • a derivada de x^{3} é 3x^{2};
  • a derivada de -\cos(x) é \sin(x);
  • a derivada de 2 é 0.
Portanto
f'(x)=3x^{2}+\sin(x).
Explicação didática: em Newton precisamos do declive (inclinação) da curva em cada ponto; f'(x) dá essa inclinação. Se f'(x_n)=0 o método falha naquele passo; aqui veremos que, nos pontos usados, f'(x_n) é diferente de zero.

Passo 4

Escolher o palpite inicial x_{0} (sem pedir nada ao professor; faço uma escolha justificada)
  • Avalio f em alguns pontos para localizar a raiz:
f(0)=0^{3}-\cos(0)+2=-1+2=1.
f(-1)=(-1)^{3}-\cos(-1)+2=-1-\cos(1)+2=1-\cos(1)\approx1-0,540302=0,459698>0.
f(-2)=(-2)^{3}-\cos(-2)+2=-8-\cos(2)+2=-6-\cos(2)\approx-6-(-0,416147)=-5,583853<0.
Como f(-1)>0 e f(-2)<0, há uma raiz no intervalo (-2,-1) (por continuidade). Um palpite simples e comum é começar por x_{0}=-1 (ponto em que já temos f(-1) e f'(-1) facilmente avaliáveis). Vou tomar x_{0}=-1.

Passo 5

Iteração 1 (a partir de x_{0}=-1)
Calcular f(x_{0}) e f'(x_{0}):
f(-1)=1-\cos(1)\approx0,4596976941,
f'(-1)=3\cdot(-1)^{2}+\sin(-1)=3+\sin(-1)=3-0,8414709848\approx2,1585290152.
Aplicar a fórmula de Newton:
x_{1}=x_{0}-\frac{f(x_{0})}{f'(x_{0})}=-1-\frac{0,4596976941}{2,1585290152}\approx-1,2129331461.
Comentário: aqui foi feito o quociente e arredondado razoavelmente. O valor f(-1) e f'(-1) foram obtidos usando valores conhecidos de \cos(1) e \sin(1).

Passo 6

Iteração 2 (a partir de x_{1}\approx-1,2129331461)
Calcular f(x_{1}) e f'(x_{1}).
Cálculos (aproximações numéricas):
f(x_{1})=x_{1}^{3}-\cos(x_{1})+2\approx-0,137\quad(\text{aprox.}),
f'(x_{1})=3x_{1}^{2}+\sin(x_{1})\approx3,48\quad(\text{aprox.}).
Aplicando Newton:
x_{2}=x_{1}-\frac{f(x_{1})}{f'(x_{1})}\approx-1,2129331461-\frac{-0,137}{3,48}\approx-1,1735\\ \text{(aprox.)}.
Explicação didática: no cálculo acima estimou-se f(x_{1}) e f'(x_{1}) com precisão suficiente para continuar; Newton costuma convergir rápido quando o palpite inicial está relativamente perto da raiz.

Passo 7

Iteração 3 (a partir de x_{2}\approx-1,1735) — verificação do critério de parada
Calcular f(x_{2}) e verificar |f(x_{2})| em relação a \varepsilon.
Cálculos (aproximações mais refinadas):
f(x_{2})\approx-0,0022\quad(\text{aprox.}),
f'(x_{2})\approx3,21\quad(\text{aprox.}).
Aplicando Newton para refinar:
x_{3}=x_{2}-\frac{f(x_{2})}{f'(x_{2})}\approx-1,1735-\frac{-0,0022}{3,21}\approx-1,172814.
Agora avaliando o resíduo:
f(x_{3})\approx-0,00014,
e portanto
|f(x_{3})|\approx0,00014<0,001=\varepsilon.
Como o critério |f(x_{n})|<\varepsilon foi satisfeito no passo n=3, podemos parar. A aproximação obtida é \,x_{3}\approx-1,172814.
Observação didática final: o Método de Newton converge rapidamente (aqui em poucas iterações) porque a função é suave e o palpite inicial foi razoável. Em prova, faça as contas com 3–6 casas decimais e verifique o critério pedido; se o problema pedir outra forma de critério (diferença entre iterações), use essa.

Resposta

\bar{x}\approx-1,172814

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