Determine
tal que
, em que
, usando:
Método de Newton com
Método de Newton com
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado:
- Pedido: determinar
tal que . - Função dada:
. - Método exigido: Método de Newton com
.
Resumo: preciso aplicar o Método de Newton (iterações) até que a aproximação seja boa o suficiente segundo
. Não foi dado palpite inicial, então vou escolher um
razoável (mostro a escolha no próximo passo).
Passo 2
O que é o Método de Newton e qual critério de parada vou usar
- Fórmula de iteração do Método de Newton:
onde
é a derivada de
. A ideia é usar a reta tangente em
para aproximar a raiz.
- Escolha do critério de parada: como o objetivo é achar
tal que , vou usar o critério
ou seja, a aproximação é boa quando o valor absoluto de
no ponto atual é menor que
. (Outra escolha comum é parar quando
; explico por que escolhi a condição sobre
: queremos a raiz de
, então controlar o resíduo
é direto e coerente com o objetivo.)
Passo 3
Calcular a derivada
(passo obrigatório para Newton)
Derivando
:
- a derivada de
é ; - a derivada de
é ; - a derivada de
é .
Portanto
Explicação didática: em Newton precisamos do declive (inclinação) da curva em cada ponto;
dá essa inclinação. Se
o método falha naquele passo; aqui veremos que, nos pontos usados,
é diferente de zero.
Passo 4
Escolher o palpite inicial
(sem pedir nada ao professor; faço uma escolha justificada)
- Avalio
em alguns pontos para localizar a raiz:
Como
e
, há uma raiz no intervalo
(por continuidade). Um palpite simples e comum é começar por
(ponto em que já temos
e
facilmente avaliáveis). Vou tomar
.
Passo 5
Iteração 1 (a partir de
)
Calcular
e
:
Aplicar a fórmula de Newton:
Comentário: aqui foi feito o quociente e arredondado razoavelmente. O valor
e
foram obtidos usando valores conhecidos de
e
.
Passo 6
Iteração 2 (a partir de
)
Calcular
e
.
Cálculos (aproximações numéricas):
Aplicando Newton:
Explicação didática: no cálculo acima estimou-se
e
com precisão suficiente para continuar; Newton costuma convergir rápido quando o palpite inicial está relativamente perto da raiz.
Passo 7
Iteração 3 (a partir de
) — verificação do critério de parada
Calcular
e verificar
em relação a
.
Cálculos (aproximações mais refinadas):
Aplicando Newton para refinar:
Agora avaliando o resíduo:
e portanto
Como o critério
foi satisfeito no passo
, podemos parar. A aproximação obtida é
.
Observação didática final: o Método de Newton converge rapidamente (aqui em poucas iterações) porque a função é suave e o palpite inicial foi razoável. Em prova, faça as contas com 3–6 casas decimais e verifique o critério pedido; se o problema pedir outra forma de critério (diferença entre iterações), use essa.