Determine
tal que
, em que
, usando:
Método da Bisseção com
Método da Bisseção com
Passo 1
O enunciado pede para determinar
tal que
, onde
usando o Método da Bisseção com tolerância
.
Informações dadas:
- A função é
. - O método exigido é o Método da Bisseção.
- A tolerância (critério de parada) é
.
O objetivo final é fornecer um valor
(uma aproximação do zero) tal que o intervalo final obtido pelo método tenha comprimento menor ou igual a
.
Passo 2
Breve explicação do Método da Bisseção (passo-a-passo do que vamos aplicar).
- O método exige um intervalo inicial
tal que e tenham sinais opostos (isto garante, pela continuação da função e pelo Teorema do Valor Intermediário, a existência de pelo menos uma raiz em ). - A cada iteração calcula-se o ponto médio
avalia-se
e escolhe-se o subintervalo
ou
que contém a raiz (onde os sinais em extremos são opostos).
- Repete-se até que o comprimento do intervalo atual
seja . A aproximação final costuma ser o ponto médio do último intervalo.
Agora vamos aplicar o método de forma prática e bem mastigada.
Passo 3
Escolha do intervalo inicial
com mudança de sinal.
Avaliar a função em alguns pontos fáceis:
Como
, segue
Temos
e
, logo existe pelo menos uma raiz em
. Escolho
.
Passo 4
Critério de parada e número de iterações necessárias (intuição).
- O comprimento inicial é
. - A cada iteração o comprimento divide-se por
. Queremos . - Resolvend o desigualdade:
Portanto são necessárias
iterações para garantir
. Vamos fazer 5 iterações, registrando cada passo (médio, valor de
e escolha do novo intervalo).
Passo 5
Iteração 1:
- Intervalo atual:
, . - Ponto médio:
- Avaliação:
Como
,
Sinais:
,
→ raiz em
.
- Novo intervalo:
, .
Passo 6
Iteração 2:
- Intervalo atual:
, . - Ponto médio:
- Avaliação:
Como
,
Sinais:
,
→ raiz em
.
- Novo intervalo:
, .
Passo 7
Iteração 3:
- Intervalo atual:
, . - Ponto médio:
- Avaliação:
Como
,
Sinais:
,
→ raiz em
.
- Novo intervalo:
, .
Passo 8
Iteração 4:
- Intervalo atual:
, . - Ponto médio:
- Avaliação:
Como
,
Sinais:
,
→ raiz em
.
- Novo intervalo:
, .
Passo 9
Iteração 5:
- Intervalo atual:
, . - Ponto médio:
- Avaliação:
Estimando
(interpolações/valores conhecidos),
Sinais:
,
→ raiz em
.
- Novo intervalo final após 5 iterações:
, .
O comprimento do intervalo final é
portanto satisfeito o critério de parada.
Passo 10
Construção da aproximação final
.
Usa-se a média do último intervalo como aproximação:
Interpretação do erro: o erro absoluto máximo da aproximação pela bissecção é menor ou igual a metade do comprimento do último intervalo, isto é
logo a aproximação atende à tolerância pedida.