Determine \bar{x} tal que f(\bar{x})=0, em que f(x)=x^{3}-\cos (x)+2, usando:
Método da Bisseção com \varepsilon=0.1

Passo 1

O enunciado pede para determinar \bar{x} tal que f(\bar{x})=0, onde
f(x)=x^{3}-\cos(x)+2,
usando o Método da Bisseção com tolerância \varepsilon=0{,}1.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=x^{3}-\cos(x)+2.
  • O método exigido é o Método da Bisseção.
  • A tolerância (critério de parada) é \varepsilon=0{,}1.
O objetivo final é fornecer um valor \bar{x} (uma aproximação do zero) tal que o intervalo final obtido pelo método tenha comprimento menor ou igual a \varepsilon.

Passo 2

Breve explicação do Método da Bisseção (passo-a-passo do que vamos aplicar).
  • O método exige um intervalo inicial [a,b] tal que f(a) e f(b) tenham sinais opostos (isto garante, pela continuação da função e pelo Teorema do Valor Intermediário, a existência de pelo menos uma raiz em [a,b]).
  • A cada iteração calcula-se o ponto médio
m=\frac{a+b}{2},
avalia-se f(m) e escolhe-se o subintervalo [a,m] ou [m,b] que contém a raiz (onde os sinais em extremos são opostos).
  • Repete-se até que o comprimento do intervalo atual b-a seja \le \varepsilon. A aproximação final \bar{x} costuma ser o ponto médio do último intervalo.
Agora vamos aplicar o método de forma prática e bem mastigada.

Passo 3

Escolha do intervalo inicial [a,b] com mudança de sinal.
Avaliar a função em alguns pontos fáceis:
f(0)=0^{3}-\cos(0)+2= -1+2=1.
f(-2)=(-2)^{3}-\cos(-2)+2 = -8 - \cos(2) +2 = -6 - \cos(2).
Como \cos(2)\approx -0{,}4161468365, segue
f(-2)\approx -6 - (-0{,}4161468365) \approx -5{,}5838531635<0.
Temos f(-2)<0 e f(0)>0, logo existe pelo menos uma raiz em [-2,0]. Escolho [a,b]=[-2,0].

Passo 4

Critério de parada e número de iterações necessárias (intuição).
  • O comprimento inicial é b-a=2.
  • A cada iteração o comprimento divide-se por 2. Queremos \dfrac{2}{2^{n}} \le 0{,}1.
  • Resolvend o desigualdade:
2^{n} \ge 20 \Rightarrow n \ge \log_{2}(20)\approx 4{,}32.
Portanto são necessárias n=5 iterações para garantir b-a \le 0{,}1. Vamos fazer 5 iterações, registrando cada passo (médio, valor de f e escolha do novo intervalo).

Passo 5

Iteração 1:
  • Intervalo atual: a=-2, b=0.
  • Ponto médio:
m_{1}=\frac{-2+0}{2}=-1.
  • Avaliação:
f(-1)=(-1)^{3}-\cos(-1)+2 = -1 - \cos(1) +2 = 1 - \cos(1).
Como \cos(1)\approx 0{,}5403023059,
f(-1)\approx 1 - 0{,}5403023059 \approx 0{,}4596976941>0.
Sinais: f(-2)<0, f(-1)>0 → raiz em [-2,-1].
  • Novo intervalo: a=-2, b=-1.

Passo 6

Iteração 2:
  • Intervalo atual: a=-2, b=-1.
  • Ponto médio:
m_{2}=\frac{-2+(-1)}{2}=-1{,}5.
  • Avaliação:
f(-1{,}5)=(-1{,}5)^{3}-\cos(-1{,}5)+2 = -3{,}375 - \cos(1{,}5) +2.
Como \cos(1{,}5)\approx 0{,}0707372017,
f(-1{,}5)\approx -1{,}375 - 0{,}0707372017 \approx -1{,}4457372017<0.
Sinais: f(-1{,}5)<0, f(-1)>0 → raiz em [-1{,}5,-1].
  • Novo intervalo: a=-1{,}5, b=-1.

Passo 7

Iteração 3:
  • Intervalo atual: a=-1{,}5, b=-1.
  • Ponto médio:
m_{3}=\frac{-1{,}5+(-1)}{2}=-1{,}25.
  • Avaliação:
f(-1{,}25)=(-1{,}25)^{3}-\cos(-1{,}25)+2 = -1{,}953125 - \cos(1{,}25) +2.
Como \cos(1{,}25)\approx 0{,}3153223624,
f(-1{,}25)\approx 0{,}046875 - 0{,}3153223624 \approx -0{,}2684473624<0.
Sinais: f(-1{,}25)<0, f(-1)>0 → raiz em [-1{,}25,-1].
  • Novo intervalo: a=-1{,}25, b=-1.

Passo 8

Iteração 4:
  • Intervalo atual: a=-1{,}25, b=-1.
  • Ponto médio:
m_{4}=\frac{-1{,}25+(-1)}{2}=-1{,}125.
  • Avaliação:
f(-1{,}125)=(-1{,}125)^{3}-\cos(-1{,}125)+2 = -1{,}423828125 - \cos(1{,}125) +2.
Como \cos(1{,}125)\approx 0{,}4383711468,
f(-1{,}125)\approx 0{,}576171875 - 0{,}4383711468 \approx 0{,}1378007282>0.
Sinais: f(-1{,}25)<0, f(-1{,}125)>0 → raiz em [-1{,}25,-1{,}125].
  • Novo intervalo: a=-1{,}25, b=-1{,}125.

Passo 9

Iteração 5:
  • Intervalo atual: a=-1{,}25, b=-1{,}125.
  • Ponto médio:
m_{5}=\frac{-1{,}25+(-1{,}125)}{2}=-1{,}1875.
  • Avaliação:
f(-1{,}1875)=(-1{,}1875)^{3}-\cos(-1{,}1875)+2 = -1{,}673126220703125 - \cos(1{,}1875) +2.
Estimando \cos(1{,}1875)\approx 0{,}37684675 (interpolações/valores conhecidos),
f(-1{,}1875)\approx 0{,}326873779296875 - 0{,}37684675 \approx -0{,}0499729707<0.
Sinais: f(-1{,}1875)<0, f(-1{,}125)>0 → raiz em [-1{,}1875,-1{,}125].
  • Novo intervalo final após 5 iterações: a=-1{,}1875, b=-1{,}125.
O comprimento do intervalo final é
b-a = -1{,}125 - (-1{,}1875) = 0{,}0625 \le 0{,}1,
portanto satisfeito o critério de parada.

Passo 10

Construção da aproximação final \bar{x}.
Usa-se a média do último intervalo como aproximação:
\bar{x}=\frac{a+b}{2}=\frac{-1{,}1875 + (-1{,}125)}{2}=-1{,}15625.
Interpretação do erro: o erro absoluto máximo da aproximação pela bissecção é menor ou igual a metade do comprimento do último intervalo, isto é
|\bar{x}-x^{*}|\le \frac{b-a}{2} = \frac{0{,}0625}{2}=0{,}03125 < 0{,}1,
logo a aproximação atende à tolerância pedida.

Resposta

\bar{x}=-1{,}15625

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