Determine o ponto de interseção da reta r:⎧x = 1 + y⎪⎨y = 2 - 2y⎪⎩z = 5 - 3y com o plano 2x - y + z - 3 = 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o ponto onde a reta $ r $ intercepta o plano dado pela equação $ 2x - y + z - 3 = 0 $. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre equações paramétricas de retas e equações de planos. Vamos seguir passo a passo para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação da reta $ r $. Ela está dada de uma forma um pouco diferente, mas podemos reescrevê-la de maneira paramétrica para facilitar. Vamos supor que temos um parâmetro $ t $ que varia, e então expressamos $ x $, $ y $ e $ z $ em termos de $ t $.
Dada a reta:
r
Aqui, $ t $ é o parâmetro que define pontos diferentes na reta.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o valor de $ t $ que faz com que o ponto $ (x, y, z) $ esteja no plano $ 2x - y + z - 3 = 0 $. Para isso, substituímos as expressões paramétricas de $ x $, $ y $ e $ z $ na equação do plano.
Substituindo:
t

Passo 4

Vamos resolver a equação para encontrar $ t $:
t
Simplificando os termos:
2 + 2t - 2 + 2t + 5 - 3t - 3 = 0
Portanto:
(2t + 2t - 3t) + (2 - 2 + 5 - 3) = 0 t + 2 = 0

Passo 5

Agora que encontramos $ t = -2 $, vamos substituir esse valor nas equações paramétricas para encontrar as coordenadas $ x $, $ y $ e $ z $ do ponto de interseção.
Calculando:
t = -2

Resposta

O ponto de interseção da reta $ r $ com o plano $ 2x - y + z - 3 = 0 $ é $ (-1, , 6, , 11) $.

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