Estude a variação de sinal (f(x) > 0, f(x) = 0 e f(x) < 0) das seguintes funções do 1º grau:
a) f(x) = x + 5
b) f(x) = -3x + 9
c) f(x) = -2x + 10
d) f(x) = -5x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício que pede para estudar a variação de sinal de funções do 1º grau. Isso significa que vamos descobrir para quais valores de $ x $ a função é positiva ($ f(x) > 0 x f(x) = 0 f(x) > 0 f(x) < 0 $). Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver equações do 1º grau e analisar o comportamento da reta no gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função do 1º grau tem a forma geral $ f(x) = ax + b $, onde $ a $ e $ b $ são números reais. O sinal da função depende do valor de $ f(x) $. Para encontrar onde $ f(x) $ é zero, basta resolver a equação $ ax + b = 0 $. Depois, para determinar onde é positiva ou negativa, analisamos os intervalos definidos por essa raiz.

Passo 3

Vamos começar com a função a) $ f(x) = x + 5 $.
  1. Encontrar onde $ f(x) = 0 $: f(x) = x + 5
  2. Analisar os intervalos definidos por $ x = -5 $:
    • Para $ x < -5 $:
      Se escolhermos $ x = -6 $, por exemplo: f(x) = 0 Então, $ f(x) < 0 $
    • Para $ x > -5 $:
      Se escolhermos $ x = 0 $, por exemplo: x + 5 = 0 implies x = -5 Então, $ f(x) > 0 $

Passo 4

Agora, a função b) $ f(x) = -3x + 9 $.
  1. Encontrar onde $ f(x) = 0 $: f(x) = -3x + 9
  2. Analisar os intervalos definidos por $ x = 3 $:
    • Para $ x < 3 $:
      Se escolhermos $ x = 0 $, por exemplo: f(x) = 0 Então, $ f(x) > 0 $
    • Para $ x > 3 $:
      Se escolhermos $ x = 4 $, por exemplo: -3x + 9 = 0 implies -3x = -9 implies x = 3 Então, $ f(x) < 0 $

Passo 5

Seguimos para a função c) $ f(x) = -2x + 10 $.
  1. Encontrar onde $ f(x) = 0 $: f(x) = -2x + 10
  2. Analisar os intervalos definidos por $ x = 5 $:
    • Para $ x < 5 $:
      Se escolhermos $ x = 0 $, por exemplo: f(x) = 0 Então, $ f(x) > 0 $
    • Para $ x > 5 $:
      Se escolhermos $ x = 6 $, por exemplo: -2x + 10 = 0 implies -2x = -10 implies x = 5 Então, $ f(x) < 0 $

Passo 6

Por fim, vamos analisar a função d) $ f(x) = -5x $.
  1. Encontrar onde $ f(x) = 0 $: f(x) = -5x
  2. Analisar os intervalos definidos por $ x = 0 $:
    • Para $ x < 0 $:
      Se escolhermos $ x = -1 $, por exemplo: f(x) = 0 Então, $ f(x) > 0 $
    • Para $ x > 0 $:
      Se escolhermos $ x = 1 $, por exemplo: -5x = 0 implies x = 0 Então, $ f(x) < 0 $

Resposta

Resumindo:
a) $ f(x) = x + 5 $
  • $ f(x) > 0 $ para $ x > -5 $
  • $ f(x) = 0 $ quando $ x = -5 $
  • $ f(x) < 0 $ para $ x < -5 $
b) $ f(x) = -3x + 9 $
  • $ f(x) > 0 $ para $ x < 3 $
  • $ f(x) = 0 $ quando $ x = 3 $
  • $ f(x) < 0 $ para $ x > 3 $
c) $ f(x) = -2x + 10 $
  • $ f(x) > 0 $ para $ x < 5 $
  • $ f(x) = 0 $ quando $ x = 5 $
  • $ f(x) < 0 $ para $ x > 5 $
d) $ f(x) = -5x $
  • $ f(x) > 0 $ para $ x < 0 $
  • $ f(x) = 0 $ quando $ x = 0 $
  • $ f(x) < 0 $ para $ x > 0 $

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