Esboce os gráficos das superfícies de equações dadas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o(s) gráfico(s) da superfície dada pela equação
.
Informações que o enunciado fornece e o que é pedido:
Informações que o enunciado fornece e o que é pedido:
- A igualdade envolve as variáveis
e : . - Não aparece a variável
na equação. - O pedido é um esboço da superfície no espaço tridimensional
.
Passo 2
Colocar a equação em forma explícita para ver melhor a relação entre
e
. Isolando
:
Aqui cada símbolo significa:
-
e são coordenadas no plano horizontal e vertical, respectivamente; -
é a terceira coordenada, ausente da fórmula (não aparece).
Passo 3
Interpretar a curva no plano
. A equação
é uma parábola no plano
com:
- vértice em
; - eixo de simetria ao longo do eixo
(vertical no plano ); - abre para valores positivos de
(ou seja, “para cima”); - fator
deixa a parábola mais “larga” que .
Exemplos de pontos da parábola (úteis para desenhar): calcule
para alguns
:
Passo 4
Concluir o formato da superfície no espaço 3D. Como a variável
não aparece na equação, para qualquer valor de
a relação entre
e
é a mesma. Isso significa que a curva parabólica em cada plano horizontal
constante é idêntica. Logo a superfície é a “extrusão” da parábola ao longo do eixo
: um cilindro parabólico.
Uma parametrização simples é
onde
percorre a parábola e
percorre o eixo
.
Passo 5
Analisar interseções (traces) para ajudar no esboço:
- Interseção com planos horizontais
: obtém-se a mesma parábola no plano . - Interseção com planos verticais
: para fixo, tem-se , que é um ponto fixo em estendido livremente em ; geometricamente é uma reta paralela ao eixo passando por . - Interseção com planos verticais
: se não há interseção; se a interseção é a reta ; se a interseção são duas retas paralelas ao eixo em .
Essas interseções mostram claramente a invariância ao longo de
e ajudam a desenhar a superfície.
Passo 6
Como desenhar o esboço passo a passo (na prova, à mão, sem calculadora):
- Desenhe três eixos:
(para a direita), (para cima) e (saindo/indo para trás, conforme convenção que preferir). - No plano
desenhe a parábola usando os pontos do Passo 3: . - A partir de cada ponto da parábola, trace retas paralelas ao eixo
para cima e para baixo (pequenos segmentos) — isso indica a extrusão da curva. - Faça várias “fatias” horizontais (por exemplo
) e repita a parábola em cada uma: as fatias mostram que a forma é a mesma em qualquer . - Escureça levemente a superfície e marque o eixo de vértice: a linha
é a linha de vértices (vértice da parábola para cada ).
Dica prática: desenhe primeiro a parábola no plano
e depois desenhe 3–4 curvas paralelas deslocadas em
(por exemplo, para
); ligue-as com linhas suaves para indicar o “corpo” do cilindro.
Passo 7
Descrição final e nomeação (para decorar e usar na prova): a superfície é um cilindro parabólico cujas geratrizes são retas paralelas ao eixo
e cuja curva geradora é a parábola
no plano
. Em palavras simples: uma parábola que foi “puxada” no sentido do eixo
, formando um “túnel” de seção parabólica.
Resposta
A superfície é um cilindro parabólico dado por
, independente de
(parábola no plano
extrudada ao longo do eixo
).