Esboce os gráficos das superfícies de equações dadas abaixo:
x^{2}-4 y=0

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o(s) gráfico(s) da superfície dada pela equação \,x^{2}-4y=0\,.
Informações que o enunciado fornece e o que é pedido:
  • A igualdade envolve as variáveis x e y: \,x^{2}-4y=0\,.
  • Não aparece a variável z na equação.
  • O pedido é um esboço da superfície no espaço tridimensional (x,y,z).

Passo 2

Colocar a equação em forma explícita para ver melhor a relação entre x e y. Isolando y:
y=\frac{1}{4}x^{2}.
Aqui cada símbolo significa:
  • x e y são coordenadas no plano horizontal e vertical, respectivamente;
  • z é a terceira coordenada, ausente da fórmula (não aparece).

Passo 3

Interpretar a curva no plano z=0. A equação \,y=\tfrac{1}{4}x^{2}\, é uma parábola no plano xy com:
  • vértice em (0,0);
  • eixo de simetria ao longo do eixo y (vertical no plano xy);
  • abre para valores positivos de y (ou seja, “para cima”);
  • fator \tfrac{1}{4} deixa a parábola mais “larga” que \,y=x^{2}\,.
Exemplos de pontos da parábola (úteis para desenhar): calcule y para alguns x:
x=-4\Rightarrow y=\tfrac{1}{4}(-4)^{2}=4, \qquad x=-2\Rightarrow y=1, \qquad x=0\Rightarrow y=0, \qquad x=2\Rightarrow y=1, \qquad x=4\Rightarrow y=4.

Passo 4

Concluir o formato da superfície no espaço 3D. Como a variável z não aparece na equação, para qualquer valor de z a relação entre x e y é a mesma. Isso significa que a curva parabólica em cada plano horizontal z= constante é idêntica. Logo a superfície é a “extrusão” da parábola ao longo do eixo z: um cilindro parabólico.
Uma parametrização simples é
(x,y,z)=(u,\tfrac{1}{4}u^{2},v),
onde u\in\mathbb{R} percorre a parábola e v\in\mathbb{R} percorre o eixo z.

Passo 5

Analisar interseções (traces) para ajudar no esboço:
  • Interseção com planos horizontais z=z_{0}: obtém-se a mesma parábola \,y=\tfrac{1}{4}x^{2}\, no plano z=z_{0}.
  • Interseção com planos verticais x=x_{0}: para x=x_{0} fixo, tem-se y=\tfrac{1}{4}x_{0}^{2}, que é um ponto fixo em y estendido livremente em z; geometricamente é uma reta paralela ao eixo z passando por (x_{0},\tfrac{1}{4}x_{0}^{2}).
  • Interseção com planos verticais y=y_{0}: se y_{0}<0 não há interseção; se y_{0}=0 a interseção é a reta (0,0,z); se y_{0}>0 a interseção são duas retas paralelas ao eixo z em x=\pm 2\sqrt{y_{0}}.
Essas interseções mostram claramente a invariância ao longo de z e ajudam a desenhar a superfície.

Passo 6

Como desenhar o esboço passo a passo (na prova, à mão, sem calculadora):
  1. Desenhe três eixos: x (para a direita), y (para cima) e z (saindo/indo para trás, conforme convenção que preferir).
  2. No plano z=0 desenhe a parábola y=\tfrac{1}{4}x^{2} usando os pontos do Passo 3: (-4,4,0),(-2,1,0),(0,0,0),(2,1,0),(4,4,0).
  3. A partir de cada ponto da parábola, trace retas paralelas ao eixo z para cima e para baixo (pequenos segmentos) — isso indica a extrusão da curva.
  4. Faça várias “fatias” horizontais (por exemplo z=-2,\,z=0,\,z=2) e repita a parábola em cada uma: as fatias mostram que a forma é a mesma em qualquer z.
  5. Escureça levemente a superfície e marque o eixo de vértice: a linha (0,0,z) é a linha de vértices (vértice da parábola para cada z).
Dica prática: desenhe primeiro a parábola no plano z=0 e depois desenhe 3–4 curvas paralelas deslocadas em z (por exemplo, para z=\pm1,\pm2); ligue-as com linhas suaves para indicar o “corpo” do cilindro.

Passo 7

Descrição final e nomeação (para decorar e usar na prova): a superfície é um cilindro parabólico cujas geratrizes são retas paralelas ao eixo z e cuja curva geradora é a parábola \,y=\tfrac{1}{4}x^{2}\, no plano xy. Em palavras simples: uma parábola que foi “puxada” no sentido do eixo z, formando um “túnel” de seção parabólica.

Resposta

A superfície é um cilindro parabólico dado por \,y=\tfrac{1}{4}x^{2}\,, independente de z (parábola no plano xy extrudada ao longo do eixo z).

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