Determine o ponto de nivelamento (crítico) e esboce os gráficos da função receita e custo em cada caso:
R(x)=200 x e C(x)=10.000+150 x 200

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que o enunciado pede e as ferramentas que vamos usar. O objetivo é encontrar o ponto de nivelamento (break-even) entre a receita e o custo, isto é, o valor de x que satisfaz R(x)=C(x). A receita é dada por R(x)=200x e teremos dois casos de custo: C1(x)=10000+150x e C2(x)=200.

Passo 2

No caso 1, igualamos a receita ao custo fixo e variável. Isso significa resolver:
200x = 10000 + 150x
Subtraindo 150x de ambos os lados e isolando x:
200x - 150x = 10000 50x = 10000 x = 1000050 = 200

Passo 3

Portanto, no caso 1 o ponto de nivelamento ocorre em x=200 unidades. A receita e o custo valem R(200)=C1(200)=200times200=40000.
O esboço do gráfico para o caso 1 consiste de duas retas no plano (x,y):
– Receita R(x)=200x: reta passando pela origem com coeficiente angular 200.
– Custo C1(x)=10000+150x: reta interceptando o eixo y em 10000 e com coeficiente angular 150.
Elas se cruzam em (200,40000). Para x<200, a reta de custo está acima da receita (prejuízo); para x>200, a receita fica acima (lucro).

Passo 4

No caso 2, igualamos a receita a um custo puramente fixo. Resolvendo:
200x = 200
Isolando x:
x = 200200 = 1

Passo 5

Assim, o ponto de nivelamento no caso 2 é x=1 unidade, com R(1)=C2(1)=200.
O esboço do gráfico para o caso 2 tem:
– Receita R(x)=200x como antes.
– Custo C2(x)=200: linha horizontal em y=200.
Elas se encontram em (1,200). Para x<1 há prejuízo, para x>1 há lucro.

Resposta

Caso 1: ponto de nivelamento em x=200 unidades ( R=C=40000).
Caso 2: ponto de nivelamento em x=1 unidade ( R=C=200).

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