Determine os valores máximo e mínimo absolutos da função f no conjunto D
f(x, y)=x^2+y^2+x^2 y+4, D=(x, y) mid 0 <= x <= 9,0 <= y <= 5

Passo 1

O enunciado pede os valores de máximo e mínimo absolutos da função
f(x,y)=x^2+y^2+x^2y+4
no domínio fechado e convexo
D=(x,y)mid 0<= x<=9,;0<= y<=5
Como f é contínua em D, os extremos absolutos ocorrem em pontos críticos internos ou na fronteira de D. Vamos calcular ambos.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais para achar pontos críticos internos.
partial fpartial x=2x+2xy=2x(1+y), partial fpartial y=2y+x^2
Precisamos resolver
2x(1+y)=0, 2y+x^2=0,
com (x,y) em [0,9]times[0,5].

Passo 3

Da equação 2x(1+y)=0 vem x=0 ou y=-1. Como y>=0, descartamos y=-1, ficando x=0. Substituindo em 2y+x^2=0 2y=0, logo y=0. O único ponto crítico interno é
(x,y)=(0,0),
e
f(0,0)=0+0+0+4=4

Passo 4

Analisamos a aresta x=0, yin[0,5].
f(0,y)=y^2+4
Como é um quadrado, atinge mínimo em y=0 com valor 4 e máximo em y=5 com valor 5^2+4=29.

Passo 5

Analisamos a aresta x=9, yin[0,5].
f(9,y)=81+y^2+81y+4 = y^2+81y+85
É parábola com concavidade para cima e vértice em y=-40,5, fora do intervalo. Então sobre [0,5] é crescente, valendo
f(9,0)=85, f(9,5)=5^2+81cdot5+85=515

Passo 6

Analisamos a aresta y=0, xin[0,9].
f(x,0)=x^2+4,
que cresce em x>=0, atingindo mínimo 4 em x=0 e máximo 85 em x=9.

Passo 7

Analisamos a aresta y=5, xin[0,9].
f(x,5)=x^2+25+5x^2+4 =6x^2+29,
que cresce em x, valendo
f(0,5)=29, f(9,5)=6cdot9^2+29=515

Passo 8

Reunindo candidatos:
;f(0,0)=4,;f(0,5)=29,;f(9,0)=85,;f(9,5)=515
O menor valor é 4 em (0,0) e o maior é 515 em (9,5).

Resposta

O valor mínimo absoluto é 4 em (0,0) e o valor máximo absoluto é 515 em (9,5).

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