Determine os valores máximo e mínimo absolutos da função
no conjunto
Passo 1
O enunciado pede os valores de máximo e mínimo absolutos da função
no domínio fechado e convexo
Como
é contínua em
, os extremos absolutos ocorrem em pontos críticos internos ou na fronteira de
. Vamos calcular ambos.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais para achar pontos críticos internos.
Precisamos resolver
com
em
.
Passo 3
Da equação
vem
ou
. Como
, descartamos
, ficando
. Substituindo em
dá
, logo
. O único ponto crítico interno é
e
Passo 4
Analisamos a aresta
,
.
Como é um quadrado, atinge mínimo em
com valor
e máximo em
com valor
.
Passo 5
Analisamos a aresta
,
.
É parábola com concavidade para cima e vértice em
, fora do intervalo. Então sobre
é crescente, valendo
Passo 6
Analisamos a aresta
,
.
que cresce em
, atingindo mínimo
em
e máximo
em
.
Passo 7
Analisamos a aresta
,
.
que cresce em
, valendo
Passo 8
Reunindo candidatos:
O menor valor é em
e o maior é
em
.
O menor valor é
Resposta
O valor mínimo absoluto é
em
e o valor máximo absoluto é
em
.