Determine os valores máximo e mínimo absolutos da função
no conjunto
na região triangular limitada pelas linhas
e
no primeiro quadrante.
Passo 1
O enunciado pede os extremos absolutos de
numa região triangular fechada e limitada por
,
e
(no primeiro quadrante). O conteúdo é otimização de funções de duas variáveis em conjunto fechado, então vamos usar o Teorema de Weierstrass: procurar pontos críticos internos e analisar cada aresta do triângulo.
Passo 2
Calculamos o gradiente para achar pontos críticos internos:
Igualando a zero,
O ponto
está dentro de
(pois
). Em seguida avaliamos
Passo 3
Na aresta
, com
, temos
É constante, logo vale
em toda essa aresta.
Passo 4
Na aresta
, com
, temos
que cresce em
. Nos extremos
dá
e
dá
. Logo nesta aresta o mínimo é
em
(e também em
já visto) e o máximo é
em
.
Passo 5
Na aresta
, escrevemos
com
. Então
É uma parábola côncava para cima, cujo vértice em
dá
Nos extremos
e
volta a dar
e
, conforme já vimos.
Passo 6
Os valores candidatos são:
Assim o mínimo absoluto é
em
e o máximo absoluto é
em
.
Resposta
O valor mínimo absoluto é
em
.
O valor máximo absoluto é em
.
O valor máximo absoluto é