Determine os valores máximo e mínimo absolutos da função f no conjunto D
f(x, y)=4 x-8 x y+1 na região triangular limitada pelas linhas x=0, y=0 e x+y=1 no primeiro quadrante.

Passo 1

O enunciado pede os extremos absolutos de f(x,y)=4x-8xy+1 numa região triangular fechada e limitada por x=0, y=0 e x+y=1 (no primeiro quadrante). O conteúdo é otimização de funções de duas variáveis em conjunto fechado, então vamos usar o Teorema de Weierstrass: procurar pontos críticos internos e analisar cada aresta do triângulo.

Passo 2

Calculamos o gradiente para achar pontos críticos internos:
nabla f(x,y) = l(partialx f,;partialy fr) = (4-8y,;-8x)
Igualando a zero,
4-8y=0 implies y=tfrac12, -8x=0 implies x=0
O ponto (0,tfrac12) está dentro de D (pois 0+tfrac12<=1). Em seguida avaliamos
fl(0,tfrac12r)=4cdot0-8cdot0cdottfrac12+1=1

Passo 3

Na aresta x=0, com yin[0,1], temos
f(0,y)=1
É constante, logo vale 1 em toda essa aresta.

Passo 4

Na aresta y=0, com xin[0,1], temos
f(x,0)=4x+1,
que cresce em x. Nos extremos x=0 1 e x=1 5. Logo nesta aresta o mínimo é 1 em (0,0) (e também em (0,1) já visto) e o máximo é 5 em (1,0).

Passo 5

Na aresta x+y=1, escrevemos y=1-x com xin[0,1]. Então
fl(x,1-xr)=4x-8x(1-x)+1 =8x^2-4x+1
É uma parábola côncava para cima, cujo vértice em x=tfrac42cdot8=tfrac14
fl(tfrac14,tfrac34r) =8l(tfrac14r)^2-4cdottfrac14+1 =tfrac12-1+1=tfrac12
Nos extremos x=0 e x=1 volta a dar 1 e 5, conforme já vimos.

Passo 6

Os valores candidatos são:
fl(0,tfrac12r)=1, f=1 na aresta x=0, f(0,0)=1, f(1,0)=5, fl(tfrac14,tfrac34r)=tfrac12
Assim o mínimo absoluto é tfrac12 em l(tfrac14,tfrac34r) e o máximo absoluto é 5 em (1,0).

Resposta

O valor mínimo absoluto é tfrac12 em l(tfrac14,tfrac34r).
O valor máximo absoluto é 5 em (1,0).

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