Nos Problemas 21-34, use o teorema de resíduos de Cauchy para calcular a integral indicada ao longo do contorno especificado.
ointC cot pi z d z, C é o retângulo definido por x=12, x=pi, y=-1, y=1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral ointC cot(pi z),dz, onde C é o retângulo de vértices com Re(z)=tfrac12, Re(z)=pi e Im(z)=pm1. Vamos usar o teorema de resíduos de Cauchy para funções meromorfas, que diz:
ointC f(z),dz = 2pi i sumpolos zk em int(C) Resl(f,zkr)

Passo 2

A função em questão é f(z)=cot(pi z)=dfraccos(pi z)sin(pi z). Ela tem polos simples nos zeros de sin(pi z), ou seja em z=k, para todo kinZ.
O resíduo genérico num polo simples z=k é dado por
Resl(cot(pi z),,z=kr)=limzto k(z-k)cot(pi z) =limzto kz-kpi(z-k)=1pi

Passo 3

Precisamos agora ver quais inteiros k caem dentro do retângulo: como tfrac12<=Re(z)<=piapprox3.14 e Im(z) está entre -1 e 1, ficam dentro os polos z=1,2,3.

Passo 4

Somando os resíduos temos
sumk=1^3 Resl(cot(pi z),z=kr)=3cdot1pi=3pi
Aplicando o teorema:
ointC cot(pi z),dz = 2pi i cdot 3pi = 6i

Resposta

6i

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