Para as funções dos exercícios 18. a 22., determine e classifique os pontos críticos, se existirem.
f(x, y) = 2 - x^2 - 3y^2 + 2xy + 8x

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma função de duas variáveis, , e precisamos encontrar e classificar os pontos críticos dessa função. Ponto crítico é onde as derivadas parciais da função em relação a e são iguais a zero ou não existem. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais e analisar a segunda derivada para classificar os pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e .
  • Derivada parcial em relação a ( ):
  • Derivada parcial em relação a ( ):

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Para isso, igualamos as derivadas parciais a zero e resolvemos o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema:
  1. Da segunda equação:
  2. Substituindo na primeira equação:
  3. Agora, substituindo em :
Portanto, o ponto crítico é .

Passo 4

Para classificar o ponto crítico, usamos o Teste da Segunda Derivada. Primeiro, encontramos as segundas derivadas parciais:
Agora, calculamos o discriminante :
Analisando o valor de :
  • Se e , o ponto é um máximo local.
  • Se e , o ponto é um mínimo local.
  • Se , o ponto é um ponto de sela.
  • Se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, e , então o ponto é um máximo local.

Resposta

A função tem um ponto crítico em , que é um máximo local.

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