Para as funções dos exercícios 18. a 22., determine e classifique os pontos críticos, se existirem.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma função de duas variáveis,
, e precisamos encontrar e classificar os pontos críticos dessa função. Ponto crítico é onde as derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero ou não existem. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais e analisar a segunda derivada para classificar os pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a
e
.
-
Derivada parcial em relação a
( ): -
Derivada parcial em relação a
( ):
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Para isso, igualamos as derivadas parciais a zero e resolvemos o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema:
- Da segunda equação:
- Substituindo
na primeira equação: - Agora, substituindo
em :
Portanto, o ponto crítico é
.
Passo 4
Para classificar o ponto crítico, usamos o Teste da Segunda Derivada. Primeiro, encontramos as segundas derivadas parciais:
Agora, calculamos o discriminante
:
Analisando o valor de
:
- Se
e , o ponto é um máximo local. - Se
e , o ponto é um mínimo local. - Se
, o ponto é um ponto de sela. - Se
, o teste é inconclusivo.
No nosso caso,
e
, então o ponto
é um máximo local.
Resposta
A função
tem um ponto crítico em
, que é um máximo local.