Exemplo:
(a) Marque o ponto com coordenadas cilíndricas \left(2, \frac{2 \pi}{3}, 1\right) e encontre suas coordenadas retangulares.
(b) Encontre as coordenadas cilíndricas do ponto com coordenadas retangulares (3,-3,-7).

Passo 1

O enunciado fala sobre conversão de coordenadas entre os sistemas cilíndrico e retangular (cartesiano).
(a) Temos o ponto em coordenadas cilíndricas \bigl(r,\theta,z\bigr)=(2,\tfrac{2\pi}{3},1) e queremos achá-lo em coordenadas retangulares \bigl(x,y,z\bigr).
(b) Temos o ponto em coordenadas retangulares \bigl(x,y,z\bigr)=(3,-3,-7) e queremos convertê-lo para coordenadas cilíndricas \bigl(r,\theta,z\bigr).

Passo 2

Para (a), lembramos que a conversão de cilíndricas para retangulares é dada por
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z = z.
Aqui r=2, \theta=\tfrac{2\pi}{3}, z=1. Calculamos
x = 2\cos\Bigl(\tfrac{2\pi}{3}\Bigr) = 2\cdot\bigl(-\tfrac12\bigr) = -1,
y = 2\sin\Bigl(\tfrac{2\pi}{3}\Bigr) = 2\cdot\frac{\sqrt3}{2} = \sqrt3,
z = 1.

Passo 3

Portanto, as coordenadas retangulares do ponto são
(x,y,z)=\bigl(-1,\;\sqrt3,\;1\bigr).

Passo 4

Para (b), usamos as fórmulas de conversão de retangulares para cilíndricas:
r = \sqrt{x^2 + y^2},\quad \theta = \operatorname{atan2}(y,x),\quad z = z.
Aqui x=3, y=-3, z=-7. Então
r = \sqrt{3^2 + (-3)^2} = \sqrt{9+9} = \sqrt{18} = 3\sqrt2.
Para \theta, como x>0 e y<0, o ângulo está no quarto quadrante:
\theta = \operatorname{atan2}(-3,3) = -\frac\pi4
ou, na convenção 0\le\theta<2\pi,
\theta = 2\pi - \frac\pi4 = \frac{7\pi}{4}.

Passo 5

Assim, as coordenadas cilíndricas do ponto são
\bigl(r,\theta,z\bigr) = \Bigl(3\sqrt2,\;\tfrac{7\pi}{4},\;-7\Bigr).

Resposta

(a) (x,y,z)=\bigl(-1,\sqrt3,1\bigr)
(b) \bigl(r,\theta,z\bigr)=\bigl(3\sqrt2,\tfrac{7\pi}{4},-7\bigr)

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