Determine o ponto P da reta A B que está à distância de 5 da origem. Dados A(0,-25) e B(-2,-11).

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a reta que passa por A(0,-25) e B(-2,-11) e queremos encontrar o(s) ponto(s) P dessa reta cuja distância até a origem O(0,0) é 5. Para isso vamos parametrizar a reta e impor a condição da circunferência de raio 5.

Passo 2

O vetor diretor da reta é
AB=B-A=(-2,-11)-(0,-25)=(-2,14)
Uma parametrização da reta é
P(t)=A+t,AB=(0,-25)+t(-2,14)=(-2t,,-25+14t)

Passo 3

A condição de distância até a origem é |OP(t)|=5. Logo devemos ter
(-2t)^2+(-25+14t)^2=5^2

Passo 4

Expandindo vem
4t^2+(14t-25)^2=25 ;Longrightarrow; 4t^2+196t^2-700t+625=25 ;Longrightarrow; 200t^2-700t+600=0
Dividindo por 100 obtemos
2t^2-7t+6=0,
cuja solução é
t=7pmraiz49-484=7pm14,
ou seja t1=2 e t2=tfrac32.

Passo 5

Substituindo t1=2 em P(t) temos
P1=(-2cdot2,,-25+14cdot2)=(-4,3),
e para t2=tfrac32
P2=(-2cdottfrac32,,-25+14cdottfrac32)=(-3,-4)

Resposta

Os pontos da reta AB que estão à distância 5 da origem são (-4,3) e (-3,-4).

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