Questão 2. Dada a matriz
, obtenha o elemento
da matriz
, transposta de
.
Passo 1
O enunciado dá a matriz
com entradas definidas por a regra
. Aqui:
-
é o índice de linha e varia em . -
é o índice de coluna e varia em .
O que o problema pede: obter o elemento
da matriz transposta
(ou seja, o elemento da primeira linha e terceira coluna de
).
Passo 2
Vou lembrar e explicar o que é transpor uma matriz e como os índices se comportam (isso é essencial para a prova).
- Se
é uma matriz cujos elementos são , a matriz transposta é definida por
Isto quer dizer: para formar
troca-se linhas por colunas; o elemento que estava na linha
, coluna
de
passa para a linha
, coluna
de
.
- No nosso caso,
tem dimensão , então terá dimensão . Portanto faz sentido pedir o elemento na posição de .
Passo 3
Aplicando a definição ao elemento pedido:
- O elemento
é o mesmo que . - Pela regra de transposição
(troca-se os índices).
Passo 4
Agora usamos a fórmula explícita das entradas de
. Lembrando que
, para
e
temos
Portanto
.
(Se quiser uma aproximação numérica: , mas a forma exata é
.)
(Se quiser uma aproximação numérica: