Questão 2. Dada a matriz A=\left[a_{i j}\right]_{3 \times 4}, a_{i j}=\sqrt{i}+2, obtenha o elemento a_{13}^{t} da matriz A^{t}, transposta de A.

Passo 1

O enunciado dá a matriz A=\left[a_{ij}\right]_{3\times4} com entradas definidas por a regra a_{ij}=\sqrt{i}+2. Aqui:
  • i é o índice de linha e varia em i=1,2,3.
  • j é o índice de coluna e varia em j=1,2,3,4.
O que o problema pede: obter o elemento a_{13}^{t} da matriz transposta A^{t} (ou seja, o elemento da primeira linha e terceira coluna de A^{t}).

Passo 2

Vou lembrar e explicar o que é transpor uma matriz e como os índices se comportam (isso é essencial para a prova).
  • Se A é uma matriz cujos elementos são A_{ij}, a matriz transposta A^{t} é definida por
(A^{t})_{ij}=A_{ji}.
Isto quer dizer: para formar A^{t} troca-se linhas por colunas; o elemento que estava na linha i, coluna j de A passa para a linha j, coluna i de A^{t}.
  • No nosso caso, A tem dimensão 3\times4, então A^{t} terá dimensão 4\times3. Portanto faz sentido pedir o elemento na posição (1,3) de A^{t}.

Passo 3

Aplicando a definição ao elemento pedido:
  • O elemento a_{13}^{t} é o mesmo que (A^{t})_{13}.
  • Pela regra de transposição (A^{t})_{13}=A_{31} (troca-se os índices).

Passo 4

Agora usamos a fórmula explícita das entradas de A. Lembrando que A_{ij}= \sqrt{i}+2, para i=3 e j=1 temos
A_{31}=\sqrt{3}+2.
Portanto a_{13}^{t}=(A^{t})_{13}=A_{31}=\sqrt{3}+2.
(Se quiser uma aproximação numérica: \sqrt{3}+2\approx 3,732, mas a forma exata é \sqrt{3}+2.)

Resposta

\sqrt{3}+2

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