Determine os pontos aderentes de cada sequência dada abaixo
\left(\cos \frac{n \pi}{2}+(-1)^{n}\right).

Passo 1

O enunciado pede os pontos aderentes da sequência
x_n = \cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr) + (-1)^n.
O conteúdo é sequência real e pontos de acumulação (aderentes): valores L tais que existe subsequência x_{n_k}\to L.

Passo 2

Para achar os pontos aderentes, vamos observar que a função n\mapsto x_n é periódica de período 4. Basta calcular x_n para n congruente a 0,1,2,3\pmod4 e ver quais valores aparecem infinitas vezes.

Passo 3

Cálculo de x_n conforme n\mod4:
  • Se n=4k, então \cos(\tfrac{n\pi}{2})=\cos(2k\pi)=1 e (-1)^n=1, logo
x_{4k}=1+1=2.
  • Se n=4k+1, então \cos(\tfrac{n\pi}{2})=\cos(2k\pi+\tfrac\pi2)=0 e (-1)^{4k+1}=-1, logo
x_{4k+1}=0-1=-1.
  • Se n=4k+2, então \cos(\tfrac{n\pi}{2})=\cos(2k\pi+\pi)=-1 e (-1)^{4k+2}=1, logo
x_{4k+2}=-1+1=0.
  • Se n=4k+3, então \cos(\tfrac{n\pi}{2})=\cos(2k\pi+\tfrac{3\pi}{2})=0 e (-1)^{4k+3}=-1, logo
x_{4k+3}=0-1=-1.

Passo 4

Os valores que x_n assume são exatamente 2, -1 e 0, todos com frequência infinita (pois o padrão se repete). Logo cada um desses valores é limite de uma subsequência.

Resposta

\{-1,\,0,\,2\}

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