Determine os pontos aderentes de cada sequência dada abaixo
\left(\frac{1}{n}\right).

Passo 1

O enunciado fornece a sequência x_n = \frac{1}{n}. Queremos achar os pontos aderentes, isto é, todos os x\in\mathbb{R} para os quais existe uma subsequência \bigl(x_{n_k}\bigr) tal que \lim_{k\to\infty}x_{n_k}=x.

Passo 2

Mostramos que \lim_{n\to\infty}x_n=0, logo 0 é ponto de aderência. De fato, dado \varepsilon>0 basta escolher N>\frac{1}{\varepsilon} para que, se n\ge N, então
\bigl|x_n-0\bigr| = \frac{1}{n} \le \frac{1}{N} < \varepsilon.

Passo 3

Seja \bigl(x_{n_k}\bigr) qualquer subsequência de \bigl(x_n\bigr). Como n_k\to\infty temos
\lim_{k\to\infty} x_{n_k} = \lim_{k\to\infty}\frac{1}{n_k} = 0.
Portanto nenhuma subsequência converge a ponto diferente de 0.

Passo 4

Assim, o único ponto aderente da sequência é 0.

Resposta

\{0\}

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