Determine os pontos aderentes de cada sequência dada abaixo
\left(\operatorname{sen} \frac{n \pi}{2}+(-1)^{n}\right).

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência a_n = \sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr) + (-1)^n e pede os pontos aderentes (os valores-limite de subsequências). Vamos usar a definição de ponto aderente e explorar a periodicidade de a_n.

Passo 2

Um número \ell é ponto aderente de (a_n) se existe uma subsequência \bigl(a_{n_k}\bigr) tal que \lim_{k\to\infty}a_{n_k} = \ell. Em particular, se um valor aparece infinitas vezes em (a_n), então é ponto aderente.

Passo 3

Como \sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr) e (-1)^n têm período 4 em n, analisamos os 4 casos:
Para n=4k:
\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)=\sin(2k\pi)=0,\quad(-1)^n=1,\quad a_n=1.
Para n=4k+1:
\sin\!\bigl(\tfrac{(4k+1)\pi}{2}\bigr)=1,\quad(-1)^{4k+1}=-1,\quad a_n=0.
Para n=4k+2:
\sin\!\bigl(\tfrac{(4k+2)\pi}{2}\bigr)=0,\quad(-1)^{4k+2}=1,\quad a_n=1.
Para n=4k+3:
\sin\!\bigl(\tfrac{(4k+3)\pi}{2}\bigr)=-1,\quad(-1)^{4k+3}=-1,\quad a_n=-2.

Passo 4

Os únicos valores que a_n assume são 1,0,1,-2 de forma cíclica, ou seja, os valores distintos são 1, 0 e -2, cada um ocorrendo infinitas vezes. Logo, o conjunto dos pontos aderentes é \{1,0,-2\}.

Resposta

\{1,0,-2\}

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