Determine os pontos aderentes de cada sequência dada abaixo
\left(\frac{n-n^{2}}{1+2 n^{2}}\right).

Passo 1

O enunciado pede para determinar todos os pontos aderentes (isto é, todos os limites de subsequências) da sequência
a_n=\frac{n - n^{2}}{1 + 2n^{2}}\,.
Vamos usar a definição de ponto aderente como todo L para o qual existe uma subsequência \bigl(a_{n_k}\bigr) com
\lim_{k\to\infty}a_{n_k}=L.

Passo 2

Para descobrir um candidato a limite, escrevemos
a_n=\frac{n - n^{2}}{1 + 2n^{2}} =\frac{-n^{2}\bigl(1 - \tfrac1n\bigr)}{n^{2}\bigl(2 + \tfrac1{n^{2}}\bigr)} =\frac{-\bigl(1 - \tfrac1n\bigr)}{2 + \tfrac1{n^{2}}}
e, tomando n\to\infty, obtemos
\lim_{n\to\infty}a_n =\frac{-1}{2} =-\tfrac12.

Passo 3

Para garantir que não surjam outros pontos aderentes, mostramos ainda que a sequência é estritamente decrescente para n\ge1. Defina
f(x)=\frac{x - x^{2}}{1 + 2x^{2}},\quad x\ge1.
Calculando a derivada,
f'(x) =\frac{(1-2x)(1+2x^2)-(x-x^2)\,4x}{(1+2x^2)^2} =\frac{1-2x-2x^2}{(1+2x^2)^2} =-\frac{2x^2+2x-1}{(1+2x^2)^2}<0\quad(\forall x\ge1).
Logo, f é decrescente em [1,\infty) e, portanto, a_n> a_{n+1}. Assim, não há repetições nem outros acúmulos além do limite.

Passo 4

Como toda subsequência também é monótona decrescente e fica “grudada” em -\tfrac12, qualquer subsequência infinita tende a -\tfrac12. Não existe subsequência que convirja a outro valor.

Resposta

O único ponto aderente é \{-\tfrac12\}.

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