Determine os pontos aderentes de cada sequência dada abaixo
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar todos os pontos aderentes (isto é, todos os limites de subsequências) da sequência
Vamos usar a definição de ponto aderente como todo
para o qual existe uma subsequência
com
Passo 2
Para descobrir um candidato a limite, escrevemos
e, tomando
, obtemos
Passo 3
Para garantir que não surjam outros pontos aderentes, mostramos ainda que a sequência é estritamente decrescente para
. Defina
Calculando a derivada,
Logo,
é decrescente em
e, portanto,
. Assim, não há repetições nem outros acúmulos além do limite.
Passo 4
Como toda subsequência também é monótona decrescente e fica “grudada” em
, qualquer subsequência infinita tende a
. Não existe subsequência que convirja a outro valor.
Resposta
O único ponto aderente é
.