Determine os pontos aderentes de cada sequência dada abaixo
\left(\frac{2+(-1)^{n}}{2}-\frac{1}{n}\right).

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
a_n = \frac{2 + (-1)^n}{2} - \frac{1}{n}
e pede os pontos aderentes, ou seja, os limites de todas as subsequências convergentes. Vamos usar análise de limites de subsequências.

Passo 2

Para n par, escrevemos n=2k com k\in\mathbb{N}. A subsequência dos termos de índice par é
a_{2k} = \frac{2 + (-1)^{2k}}{2} - \frac{1}{2k} = \frac{3}{2} - \frac{1}{2k}.

Passo 3

Como \lim_{k\to\infty}\frac{1}{2k}=0, a subsequência par converge a
\lim_{k\to\infty}a_{2k} = \frac{3}{2}.

Passo 4

Para n ímpar, escrevemos n=2k-1 com k\in\mathbb{N}. A subsequência dos termos de índice ímpar é
a_{2k-1} = \frac{2 + (-1)^{2k-1}}{2} - \frac{1}{2k-1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2k-1}.

Passo 5

Como \lim_{k\to\infty}\frac{1}{2k-1}=0, a subsequência ímpar converge a
\lim_{k\to\infty}a_{2k-1} = \frac{1}{2}.

Resposta

Os pontos aderentes da sequência são
\left\{\frac{1}{2},\,\frac{3}{2}\right\}.

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