Prove que se \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=L então: existe a \in \mathbb{R} tal que f é limitada em [a, \infty)

Passo 1

O enunciado afirma que
\lim_{x\to\infty}f(x)=L
e pede para mostrar que existe a\in\mathbb{R} tal que f é limitada em [a,\infty).
Conteúdo: definição de limite no infinito.

Passo 2

Pela definição de limite, dizer que \lim_{x\to\infty}f(x)=L significa que, para todo \epsilon>0, existe M\in\mathbb{R} tal que, se x>M, então
\lvert f(x)-L\rvert<\epsilon.

Passo 3

Escolhemos \epsilon=1. Assim, existe a\in\mathbb{R} tal que, para todo x>a,
\lvert f(x)-L\rvert<1.

Passo 4

Da desigualdade \lvert f(x)-L\rvert<1 segue
\lvert f(x)\rvert\le\lvert L\rvert+\lvert f(x)-L\rvert<\lvert L\rvert+1.
Logo, para todo x\ge a temos \lvert f(x)\rvert<\lvert L\rvert+1. Portanto f é limitada em [a,\infty).

Resposta

Basta tomar o a fornecido pela definição de limite com \epsilon=1. Então, para todo x\ge a, \lvert f(x)\rvert<\lvert L\rvert+1, ou seja, f é limitada em [a,\infty).

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