Sejam \left(x_{n}\right) e \left(y_{n}\right) sequências limitadas de \mathbb{R} satisfazendo a condição x_{n} \leq y_{n}, para todo n \in \mathbb{N}. Mostre que
\liminf x_{n} \leq \liminf y_{n} \quad \text { e } \quad \limsup x_{n} \leq \limsup y_{n} .

Passo 1

O enunciado diz que \bigl(x_{n}\bigr) e \bigl(y_{n}\bigr) são sequências limitadas reais com x_{n}\le y_{n} para todo n. O conteúdo aqui é a comparação de \liminf e \limsup. Vamos usar as definições
\liminf x_{n} = \sup_{k\in\mathbb{N}} \inf_{n\ge k} x_{n}, \qquad \limsup x_{n} = \inf_{k\in\mathbb{N}} \sup_{n\ge k} x_{n}.

Passo 2

Como x_{n}\le y_{n} para todo n, segue que, para cada k,
\inf_{n\ge k} x_{n} \le \inf_{n\ge k} y_{n}.
Tomando supremum em k de ambos os lados, obtemos
\sup_{k}\inf_{n\ge k} x_{n} \le \sup_{k}\inf_{n\ge k} y_{n},
ou seja,
\liminf x_{n} \le \liminf y_{n}.

Passo 3

De modo análogo, de x_{n}\le y_{n} para todo n segue que, para cada k,
\sup_{n\ge k} x_{n} \le \sup_{n\ge k} y_{n}.
Tomando agora ínfimo em k, vem
\inf_{k}\sup_{n\ge k} x_{n} \le \inf_{k}\sup_{n\ge k} y_{n},
ou seja,
\limsup x_{n} \le \limsup y_{n}.

Resposta

\liminf x_{n} \le \liminf y_{n}. \limsup x_{n} \le \limsup y_{n}.

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