Sejam
e
sequências limitadas de
satisfazendo a condição
, para todo
. Mostre que
Passo 1
O enunciado diz que
e
são sequências limitadas reais com
para todo
. O conteúdo aqui é a comparação de
e
. Vamos usar as definições
Passo 2
Como
para todo
, segue que, para cada
,
Tomando supremum em
de ambos os lados, obtemos
ou seja,
Passo 3
De modo análogo, de
para todo
segue que, para cada
,
Tomando agora ínfimo em
, vem
ou seja,