Exercício 14 - Construa o gráfico da superfície cilíndrica dada pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{4}=1.

Passo 1

O enunciado pede o gráfico da superfície cilíndrica dada por
\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{4}=1
e um estudo de traços. O conteúdo envolve superfícies cilíndricas e a técnica de traços consiste em intersectar a superfície com planos paralelos aos planos coordenados para entender sua forma.

Passo 2

Traço paralelo ao plano xy: seja z = z_{0}. Como a equação não depende de z, em todo plano z=z_{0} o traço é
\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{4}=1,
isto é, uma elipse de semi-eixos a=5 na direção x e b=2 na direção y.

Passo 3

Traço paralelo ao plano yz: fixe x=x_{0}. A equação fica
\frac{x_{0}^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{4}=1 \;\Longrightarrow\; y^{2}=4\Bigl(1-\frac{x_{0}^{2}}{25}\Bigr).
Se \lvert x_{0}\rvert>5, não há pontos reais. Se \lvert x_{0}\rvert\le5, então
y=\pm 2\sqrt{1-\frac{x_{0}^{2}}{25}},
e z é livre. Logo, o traço é um par de retas paralelas ao eixo z situadas em y=\pm2\sqrt{1-x_{0}^{2}/25}.

Passo 4

Traço paralelo ao plano xz: fixe y=y_{0}. Análogo ao caso anterior,
\frac{x^{2}}{25}+\frac{y_{0}^{2}}{4}=1 \;\Longrightarrow\; x=\pm 5\sqrt{1-\frac{y_{0}^{2}}{4}},
válido só se \lvert y_{0}\rvert\le2. Para cada escolha de y_{0} nessa faixa, o traço é um par de retas paralelas ao eixo z em x=\pm5\sqrt{1-y_{0}^{2}/4}.

Passo 5

Reunindo os traços, vemos que a superfície é um cilindro de seção transversal elíptica no plano xy, cujas geratrizes (linhas retas) são paralelas ao eixo z. Ele é simétrico em relação aos planos coordenados e infinito nas duas direções de z.

Resposta

A superfície é um cilindro elíptico de base a elipse
\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{4}=1
no plano z=0, com geratrizes paralelas ao eixo z.

Exercícios relacionados