Exercício 14 - Construa o gráfico da superfície cilíndrica dada pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
.
Passo 1
O enunciado pede o gráfico da superfície cilíndrica dada por
e um estudo de traços. O conteúdo envolve superfícies cilíndricas e a técnica de traços consiste em intersectar a superfície com planos paralelos aos planos coordenados para entender sua forma.
Passo 2
Traço paralelo ao plano
: seja
. Como a equação não depende de
, em todo plano
o traço é
isto é, uma elipse de semi-eixos
na direção
e
na direção
.
Passo 3
Traço paralelo ao plano
: fixe
. A equação fica
Se
, não há pontos reais. Se
, então
e
é livre. Logo, o traço é um par de retas paralelas ao eixo
situadas em
.
Passo 4
Traço paralelo ao plano
: fixe
. Análogo ao caso anterior,
válido só se
. Para cada escolha de
nessa faixa, o traço é um par de retas paralelas ao eixo
em
.
Passo 5
Reunindo os traços, vemos que a superfície é um cilindro de seção transversal elíptica no plano
, cujas geratrizes (linhas retas) são paralelas ao eixo
. Ele é simétrico em relação aos planos coordenados e infinito nas duas direções de
.
Resposta
A superfície é um cilindro elíptico de base a elipse
no plano
, com geratrizes paralelas ao eixo
.