Determine os pontos em que cada função abaixo é derivável e calcule suas derivadas.
f(x)= x sen(1x), & se x neq 0, 0, & se x=0

Passo 1

O enunciado define
f(x)= xsinl(tfrac1xr),&xneq0, 0,&x=0
e pede os pontos em que f é derivável e suas derivadas. Vamos usar a regra do produto e da cadeia para xneq0 e a definição de derivada em 0.

Passo 2

Para xneq0, temos f(x)=xsinl(tfrac1xr). Aplicando a regra do produto e da cadeia:
f'(x) =ddxl[xr]cdotsinl(tfrac1xr) +xcdotddxl[sinl(tfrac1xr)r]
Como ddxl[xr]=1 e
ddxl[sinl(tfrac1xr)r] =cosl(tfrac1xr)cdotl(-tfrac1x^2r),
segue
f'(x) =sinl(tfrac1xr) -,1x,cosl(tfrac1xr)

Passo 3

Em x=0, usamos o quociente fundamental:
f'(0) =limhto0f(h)-f(0)h =limhto0hsinl(tfrac1hr)h =limhto0sinl(tfrac1hr)
Esse limite não existe, pois sin(1/h) oscila entre -1 e 1 conforme hto0. Logo f não é derivável em 0.

Resposta

f é derivável para todo xneq0 com
f'(x) =sinl(tfrac1xr) -,1x,cosl(tfrac1xr),
e não é derivável em x=0.

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