Determine os pontos em que cada função abaixo é derivável e calcule suas derivadas.
f(x)= x^2 sen(1x), & se x neq 0, 0, & se x=0

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= x^2senl(tfrac1xr),&se xneq0, 0,&se x=0,
e pede para determinar os pontos em que f é derivável e calcular f'(x). Vamos usar regras de derivação de produtos e cadeias para xneq0 e o limite do quociente incremental para x=0.

Passo 2

Para cada xneq0, a função f(x)=x^2senl(tfrac1xr) é produto de x^2 e sen(1/x), ambas diferenciáveis em xneq0. Logo, f é diferenciável para todo xneq0 e podemos aplicar regra do produto e regra da cadeia.

Passo 3

Calculamos f'(x) em xneq0:
pela regra do produto,
f'(x) =ddxl(x^2r)cdotsenl(tfrac1xr) +x^2cdotddxl[senl(tfrac1xr)r]
Temos ddx(x^2)=2x e, pela cadeia,
ddxsenl(tfrac1xr) =cosl(tfrac1xr)cdotddxl(tfrac1xr) =-cosl(tfrac1xr),1x^2
Substituindo,
f'(x) =2x,senl(tfrac1xr) +x^2l(-cosl(tfrac1xr),1x^2r) =2x,senl(tfrac1xr)-cosl(tfrac1xr)

Passo 4

Agora verificamos a derivabilidade em x=0 usando a definição
f'(0) =limhto0f(0+h)-f(0)h =limhto0h^2senl(tfrac1hr)-0h =limhto0h,senl(tfrac1hr)
Como l|sen(1/h)r|<=1, segue l|h,sen(1/h)r|<=|h|to0. Assim, o limite existe e é zero.

Passo 5

Concluímos que f é derivável em todo R. Sua derivada é
f'(x)= 2x,senl(tfrac1xr)-cosl(tfrac1xr),&xneq0, 0,&x=0

Resposta

boxed &Domínio de derivabilidade: xinR &f'(x)= 2x,senl(tfrac1xr)-cosl(tfrac1xr),&xneq0, 0,&x=0 í

Exercícios relacionados