Resolva os seguintes problemas de valor inicial através da transformada de Laplace:
x^prime prime+x=cos (3 t) ; x(0)=1, x^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
x'' + x = cos(3t),
com condições iniciais x(0)=1 e x'(0)=0, usando transformada de Laplace. Vamos transformar a EDO em uma equação algébrica em s e depois inverter a transformada.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em cada termo, lembrando que
Lx''(s)=s^2X(s)-s,x(0)-x'(0), Lx(s)=X(s), Lcos(3t)(s)=ss^2+9
Substituindo x(0)=1 e x'(0)=0, obtemos
s^2X(s)-s + X(s)=ss^2+9

Passo 3

Agrupando X(s) e isolando, temos
(s^2+1),X(s)=s + ss^2+9 Longrightarrow X(s)=s + dfracss^2+9s^2+1 =s(s^2+9)+s(s^2+1)(s^2+9) =s,(s^2+10)(s^2+1)(s^2+9)

Passo 4

Fazemos frações parciais supondo
s,(s^2+10)(s^2+1)(s^2+9) =A,ss^2+1+B,ss^2+9
Multiplicando ambos os lados por (s^2+1)(s^2+9) e dividindo por s (para sneq0), obtemos
s^2+10 = A(s^2+9)+B(s^2+1)=(A+B)s^2+(9A+B)
Comparando coeficientes:
A+B=1, 9A+B=10 Longrightarrow A=tfrac98,;B=-tfrac18
Logo
X(s)=98,ss^2+1-18,ss^2+9

Passo 5

Invertemos a transformada de Laplace usando
L^-1s/(s^2+a^2)=cos(at):
x(t) =98cos(t) -18cos(3t)

Resposta

x(t)=98cos(t)-18cos(3t)

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