Resolva os seguintes problemas de valor inicial através da transformada de Laplace:
x^prime prime+3 x^prime+2 x=t ; x(0)=0, x^prime(0)=2

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem com condições iniciais
x'' + 3x' + 2x = t, x(0)=0,;x'(0)=2,
e pede a solução x(t) usando transformada de Laplace. Vamos usar as fórmulas
Lx'(s)=sX(s)-x(0) e
Lx''(s)=s^2X(s)-s,x(0)-x'(0), além de Lt(s)=1/s^2.

Passo 2

Aplicando Laplace em ambos os lados de
x''+3x'+2x=t temos
l[s^2X(s)-s,x(0)-x'(0)r] +3l[sX(s)-x(0)r] +2,X(s) =1s^2
Substituindo x(0)=0 e x'(0)=2, fica
l[s^2X(s)-2r]+3,sX(s)+2,X(s) =1s^2 ;;Longrightarrow;; (s^2+3s+2),X(s)-2=1s^2

Passo 3

Isolando X(s),
(s^2+3s+2),X(s) =1s^2+2 Longrightarrow X(s) =1/s^2(s+1)(s+2) ;+;2(s+1)(s+2)
Escrevemos
X(s) =1s^2(s+1)(s+2) ;+;2(s+1)(s+2)

Passo 4

Decompondo em frações parciais:
1. Para 1s^2(s+1)(s+2) temos
1s^2(s+1)(s+2) =As+Bs^2+Cs+1+Ds+2,
com cálculo de coeficientes dando
A=-tfrac34, B=tfrac12, C=1, D=-tfrac14
2. Para 2(s+1)(s+2) obtemos
2(s+1)(s+2) =2s+1-2s+2
Somando, chega-se a
X(s) =-3/4s+1/2s^2 +1s+1-1/4s+2 +2s+1-2s+2
X(s) =-3/4s+1/2s^2 +3s+1-9/4s+2

Passo 5

Invertemos a transformada termo a termo:
x(t) =-tfrac34,(1) +tfrac12,t +3,e^-t -tfrac94,e^-2t

Resposta

x(t)=-34+12,t+3,e^-t-94,e^-2t

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