Resolva os seguintes problemas de valor inicial através da transformada de Laplace:
x^prime prime-4 x=3 t ; x(0)=0, x^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
x''(t)-4x(t)=3t, x(0)=0,;x'(0)=0
usando a transformada de Laplace. Vamos precisar de:
  1. Definições de transformada de Laplace de x(t), x'(t) e x''(t).
  2. Álgebra para isolar X(s)=Lx(t).
  3. Decomposição em frações parciais para inverter a transformada.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace nos dois lados da equação. Lembrando que
Lx''=s^2X(s)-s,x(0)-x'(0) e Lx=X(s), temos
Lx''-4x = l(s^2X(s)-scdot0-0r) -4X(s) = (s^2-4),X(s)
Do lado direito, L3t=3/s^2. Logo
(s^2-4),X(s)=3s^2

Passo 3

Isolando X(s) obtemos
X(s)=3s^2,(s^2-4) =3s^2,(s-2)(s+2)

Passo 4

Fazemos a decomposição em frações parciais
3s^2(s-2)(s+2) =As+Bs^2+Cs-2+Ds+2
Encontramos os coeficientes
B=-34, C=316, D=-316, A=0
Assim
X(s)=-34,1s^2 +316,1s-2 -316,1s+2

Passo 5

Invertendo termo a termo:
  • L^-11/s^2=t.
  • L^-11/(s-2)=e^2t.
  • L^-11/(s+2)=e^-2t.
    Logo
x(t) =-34,t +316,e^2t -316,e^-2t =-34,t+38sinh(2t)

Resposta

x(t)=-34,t+38sinh(2t)

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