Determine os pontos em que cada função abaixo é derivável e calcule suas derivadas.
f(x)= sen xx, & se x neq 0, 1, & se x=0

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= dfracsin xx,&se xneq0, 1,&se x=0
Queremos investigar os pontos em que f é derivável e calcular f'(x). Para isso vamos usar a regra do quociente para xneq0 e a definição de derivada (limite) em x=0.

Passo 2

Para xneq0, a função f(x)=sin xl/xr é quociente de duas funções diferenciáveis. Aplicando a regra do quociente:
f'(x) =xcdot(sin x)'-sin xcdot(x)'x^2 =xcos x-sin xx^2

Passo 3

Em x=0, usamos a definição de derivada:
f'(0) =limhto0f(h)-f(0)h =limhto0sin hh-1h =limhto0sin h-hh^2

Passo 4

Para calcular
limhto0sin h-hh^2,
podemos usar a expansão de Taylor de sin h:
sin h=h-h^36+O(h^5),
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sin h-h=-h^36+O(h^5) Longrightarrow sin h-hh^2=-h6+O(h^3)xrightarrow[hto0]0
Assim f'(0)=0.

Passo 5

Concluímos que f é derivável em todo R.

Resposta

Para todo xinR:
f'(x)= dfracxcos x-sin xx^2,&xneq0, 0,&x=0

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