Determine os pontos em que cada função abaixo é derivável e calcule suas derivadas.
Passo 1
O enunciado pede para achar os pontos de derivabilidade de
e calcular
. Para isso vamos usar duas ideias principais: reescrever
isolando o valor absoluto de
e aplicar a regra do produto e a regra da cadeia em cada ramo. Também vamos checar a derivabilidade em
.
Passo 2
Note que
então
Isso mostra que
pode ser expressa de forma mais simples em cada sinal de
:
- Se
, então e - Se
, então e
Passo 3
Cada expressão acima é produto de funções suaves (
ou
e
), logo é derivável em todo ponto em que vale o ramo (isto é, em
e em
). Em
porém, o fator
quebra a suavidade, pois a derivada de
não existe em 0. Concluímos provisoriamente que
é derivável para
e deve ser analisada separadamente em
.
Passo 4
Para
temos
. Aplicando a regra do produto e a regra da cadeia:
Somando termos com denominador comum,
Passo 5
Para
temos
. Novamente,
Passo 6
Falta checar em
. Pelo limite definicional,
Como as duas diferenças são distintas,
não existe.
Resposta
Para
para
: