Determine os pontos em que cada função abaixo é derivável e calcule suas derivadas.
f(x)=raizx^4+x^2

Passo 1

O enunciado pede para achar os pontos de derivabilidade de
f(x)=raizx^4+x^2
e calcular f'(x). Para isso vamos usar duas ideias principais: reescrever f isolando o valor absoluto de x e aplicar a regra do produto e a regra da cadeia em cada ramo. Também vamos checar a derivabilidade em x=0.

Passo 2

Note que
x^4+x^2=x^2(x^2+1)>=0,
então
f(x)=raizx^2(x^2+1)=|x|;raizx^2+1
Isso mostra que f pode ser expressa de forma mais simples em cada sinal de x:
  • Se x>0, então |x|=x e f(x)=xraizx^2+1
  • Se x<0, então |x|=-x e f(x)=-xraizx^2+1

Passo 3

Cada expressão acima é produto de funções suaves ( x ou -x e raizx^2+1), logo é derivável em todo ponto em que vale o ramo (isto é, em x>0 e em x<0). Em x=0 porém, o fator |x| quebra a suavidade, pois a derivada de |x| não existe em 0. Concluímos provisoriamente que f é derivável para xneq0 e deve ser analisada separadamente em 0.

Passo 4

Para x>0 temos f(x)=xraizx^2+1. Aplicando a regra do produto e a regra da cadeia:
f'(x) =1cdotraizx^2+1 + xcdot12raizx^2+1cdot 2x =raizx^2+1+x^2raizx^2+1
Somando termos com denominador comum,
f'(x) =x^2+1 + x^2raizx^2+1 =2x^2+1raizx^2+1, x>0

Passo 5

Para x<0 temos f(x)=-xraizx^2+1. Novamente,
f'(x) =-l(1cdotraizx^2+1 + xcdotxraizx^2+1r) =-2x^2+1raizx^2+1, x<0

Passo 6

Falta checar em x=0. Pelo limite definicional,
limhto0^+f(h)-f(0)h =limhto0^+hraizh^2+1h =limhto0^+raizh^2+1=1,
limhto0^-f(h)-f(0)h =limhto0^--hraizh^2+1h =limhto0^--raizh^2+1=-1
Como as duas diferenças são distintas, f'(0) não existe.

Resposta

f é derivável em todos os xneq0 e não é derivável em x=0.
Para x>0:
f'(x)=2x^2+1raizx^2+1,
para x<0:
f'(x)=-2x^2+1raizx^2+1

Exercícios relacionados