Use o teorema da translação para encontrar a transformada de Laplace:
f(t)=t^3 / 2 e^-4 t

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de
f(t)=t^3/2e^-4t
O conteúdo principal é:
  1. A transformada de Laplace de uma potência t^alpha, que é
Lt^alpha(s)=Gamma(alpha+1)s^alpha+1,
onde Gamma é a função Gama.
2. O teorema da translação no eixo s, que diz
Lg(t)e^-at(s)=G(s+a),
seja G(s)=Lg(t)(s).

Passo 2

Primeiro vamos achar
G(s)=Lt^3/2(s)
Usando a fórmula para potências com alpha=tfrac32, temos
G(s)=Gammal(tfrac32+1r)s^tfrac32+1 =Gammal(tfrac52r)s^5/2

Passo 3

Agora calculamos Gammal(tfrac52r).
Pela relação Gamma(x+1)=xGamma(x) e Gamma(tfrac12)=raizpi, obtemos
Gammal(tfrac52r) =32,Gammal(tfrac32r) =32,12,Gammal(tfrac12r) =34,raizpi
Logo
G(s)=tfrac34raizpis^5/2 =3raizpi4,s^5/2

Passo 4

Aplicando o teorema da translação com a=4, substituímos s por s+4 em G(s). Assim
Lt^3/2e^-4t(s) =G(s+4) =3raizpi4,(s+4)^5/2

Resposta

boxedLt^3/2e^-4t(s) =3raizpi4,(s+4)^5/2

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