Determine os pontos em que cada função abaixo é derivável e calcule suas derivadas.
f(x)=raizx^4+x^6

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos em que
f(x)=raizx^4+x^6
é derivável e calcular f'(x).
O conteúdo que vamos usar envolve simplificação algébrica, domínio de uma raiz quadrada e aplicação da regra da cadeia ou da regra do produto para funções compostas.

Passo 2

Começamos simplificando a expressão dentro da raiz:
x^4+x^6=x^4(1+x^2)
Logo
f(x)=raizx^4(1+x^2)=raizx^4;raiz1+x^2=x^2,raiz1+x^2,
pois raizx^4=|x^2|=x^2 para todo x.

Passo 3

O domínio de f é todo R, já que x^4(1+x^2)>=0 para todo x e a raiz quadrada está bem definida. Como x^2 e raiz1+x^2 são funções diferenciáveis em todo R, sua composição e produto também são diferenciáveis em todo R. Portanto f é derivável para todo xinR.

Passo 4

Para achar f'(x) aplicamos a regra do produto a
f(x)=x^2,raiz1+x^2
Temos
ddxl(x^2r)=2x, ddxl(raiz1+x^2r) =12(1+x^2)^-tfrac12cdot2x =xraiz1+x^2
Assim,
f'(x) =2x,raiz1+x^2 + x^2,xraiz1+x^2 = 2x(1+x^2) + x^3raiz1+x^2 = 2x + 2x^3 + x^3raiz1+x^2 = x,(2+3x^2)raiz1+x^2

Resposta

A função f é derivável em todo xinR e
f'(x)=x,(2+3x^2)raiz1+x^2

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