Determine os pontos em que cada função abaixo é derivável e calcule suas derivadas.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os pontos em que
é derivável e calcular
.
O conteúdo que vamos usar envolve simplificação algébrica, domínio de uma raiz quadrada e aplicação da regra da cadeia ou da regra do produto para funções compostas.
O conteúdo que vamos usar envolve simplificação algébrica, domínio de uma raiz quadrada e aplicação da regra da cadeia ou da regra do produto para funções compostas.
Passo 2
Começamos simplificando a expressão dentro da raiz:
Logo
pois
para todo
.
Passo 3
O domínio de
é todo
, já que
para todo
e a raiz quadrada está bem definida. Como
e
são funções diferenciáveis em todo
, sua composição e produto também são diferenciáveis em todo
. Portanto
é derivável para todo
.
Passo 4
Para achar
aplicamos a regra do produto a
Temos
Assim,
Resposta
A função
é derivável em todo
e