Use o teorema da translação para encontrar a transformada de Laplace:
f(t)=e^-t / 2 cos (2(t-pi8))

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de
f(t)=e^-t/2,cosl(2l(t-tfracpi8r)r)
O conteúdo envolve
  1. o teorema da translação no domínio de s, segundo o qual
Le^atg(t)(s)=G(s-a),
  1. identidades trigonométricas para reescrever cos(2(t-pi/8)),
  2. linearidade da transformada de Laplace.

Passo 2

Reescrevemos o argumento do cosseno:
cosl(2(t-tfracpi8)r)=cosl(2t-tfracpi4r)
Usando a identidade cos(alpha-beta)=cosalphacosbeta+sinalphasinbeta com alpha=2t e beta=pi/4, temos
cosl(2t-tfracpi4r) =cos2tcostfracpi4+sin2tsintfracpi4 =tfracraiz22,cos2t+tfracraiz22,sin2t

Passo 3

Substituindo em f(t), obtemos
f(t) =e^-t/2l(tfracraiz22cos2t+tfracraiz22sin2tr) =tfracraiz22,e^-t/2cos2t+tfracraiz22,e^-t/2sin2t

Passo 4

Pela linearidade,
Lf(t) =tfracraiz22,Le^-t/2cos2t +tfracraiz22,Le^-t/2sin2t
E pelo teorema da tradução no domínio de s, basta deslocar smapsto s+1/2 nas fórmulas de cos2t e sin2t.

Passo 5

Recordando as transformadas básicas
Lcos2t(s)=ss^2+4, Lsin2t(s)=2s^2+4,
aplicamos a tradução smapsto s+1/2:
Le^-t/2cos2t(s) =s+tfrac12(s+tfrac12)^2+4, Le^-t/2sin2t(s) =2(s+tfrac12)^2+4

Passo 6

Agora combinamos com os coeficientes tfracraiz22:
Lf(t) =tfracraiz22,s+tfrac12(s+tfrac12)^2+4 +tfracraiz22,2(s+tfrac12)^2+4 =tfracraiz22l(s+tfrac12+2r)(s+tfrac12)^2+4
Note que s+tfrac12+2=s+tfrac52.

Resposta

Le^-t/2cos(2(t-tfracpi8))(s) =raiz2,(s+tfrac52)2l[(s+tfrac12)^2+4r]

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