Uma escada de bombeiro com 25 m está encostada na parede de um prédio e sua base se afasta da parede. Num certo instante, a base da escada se encontra a 7 m da parede e sua velocidade é de 2 m / s.
(a) Qual a velocidade com a qual o topo da escada se move nesse instante?
(b) Considere o triângulo formado pela parede da casa, a escada e o chão. Calcule a taxa de variação da área deste triângulo no instante em que a base da escada se encontra a 7 m da parede.
(c) Calcule a taxa de variação do ângulo formado entre a parede da casa e a escada, quando a base da escada estiver a 7 m da parede.

Passo 1

O enunciado descreve uma escada de comprimento constante 25 m apoiada numa parede vertical e no chão. Denotando por x(t) a distância da base da escada à parede e por y(t) a altura do topo da escada na parede, temos a relação de Pitágoras
x^2 + y^2 = 25^2 = 625
No instante de interesse, x=7 m e dotx = tfracdxdt = 2,m/s. As três tarefas são:
(a) encontrar doty = tfracdydt,
(b) calcular dotA = tfracdAdt para a área A = tfrac12 x y,
(c) calcular dotvarphi = tfracdvarphidt onde varphi é o ângulo entre a escada e a parede.

Passo 2

Diferenciando x^2 + y^2 = 625 em relação a t obtemos
2x,dotx + 2y,doty = 0 Longrightarrow doty = -xy,dotx
Como y = raiz625 - 7^2 = 24 m e dotx = 2,m/s, vem
doty = -724 cdot 2 = -712(m/s)

Passo 3

A área do triângulo formado pela escada, parede e chão é
A = 12,x,y
Diferenciando em t:
dot A = 12l(x,dot y + y,dot xr) = 12l(7cdotl(-tfrac712r) + 24cdot2r) = 12l(-tfrac4912 + 48r) = 52724(m^2/s)

Passo 4

Seja varphi o ângulo entre a escada (hipotenusa) e a parede (cateto vertical). Então
sinvarphi = x25
Diferenciando:
cosvarphi,dotvarphi = 125,dot x Longrightarrow dotvarphi = dot x25cosvarphi
Como cosvarphi = y/25 = 24/25 e dot x=2, resulta
dotvarphi = 225cdot(24/25) = 224 = 112 (rad/s)

Resposta

(a) dot y = -tfrac712 m/s
(b) dot A = tfrac52724 m ^2/s
(c) dotvarphi = tfrac112 rad/s

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