Uma escada de bombeiro com
está encostada na parede de um prédio e sua base se afasta da parede. Num certo instante, a base da escada se encontra a 7 m da parede e sua velocidade é de
.
(a) Qual a velocidade com a qual o topo da escada se move nesse instante?
(b) Considere o triângulo formado pela parede da casa, a escada e o chão. Calcule a taxa de variação da área deste triângulo no instante em que a base da escada se encontra a 7 m da parede.
(c) Calcule a taxa de variação do ângulo formado entre a parede da casa e a escada, quando a base da escada estiver a 7 m da parede.
(a) Qual a velocidade com a qual o topo da escada se move nesse instante?
(b) Considere o triângulo formado pela parede da casa, a escada e o chão. Calcule a taxa de variação da área deste triângulo no instante em que a base da escada se encontra a 7 m da parede.
(c) Calcule a taxa de variação do ângulo formado entre a parede da casa e a escada, quando a base da escada estiver a 7 m da parede.
Passo 1
O enunciado descreve uma escada de comprimento constante
m apoiada numa parede vertical e no chão. Denotando por
a distância da base da escada à parede e por
a altura do topo da escada na parede, temos a relação de Pitágoras
No instante de interesse,
m e
,m/s. As três tarefas são:
(a) encontrar ,
(b) calcular para a área
,
(c) calcular onde
é o ângulo entre a escada e a parede.
(a) encontrar
(b) calcular
(c) calcular
Passo 2
Diferenciando
em relação a
obtemos
Como
m e
,m/s, vem
Passo 3
A área do triângulo formado pela escada, parede e chão é
Diferenciando em
:
Passo 4
Seja
o ângulo entre a escada (hipotenusa) e a parede (cateto vertical). Então
Diferenciando:
Como
e
, resulta
Resposta
(a)
m/s
(b) m
/s
(c) rad/s
(b)
(c)