Determine os pontos de continuidade de:
F(x, y, z)=(e^x y z, x-yraiz1-x^2-y^2, 11+x^2+z^2)

Passo 1

O enunciado pede para determinar os pontos de continuidade de
F(x,y,z)=l(e^xyz,;x-yraiz1-x^2-y^2,;11+x^2+z^2r)
O conteúdo envolve continuidade de funções de várias variáveis, uso de operações elementares (soma, produto, expoente, quociente) e o fato de que composições de funções contínuas são contínuas, desde que os denominadores não se anulem e o domínio esteja bem definido.

Passo 2

Analisamos o primeiro componente
f1(x,y,z)=e^xyz
Como a função exponencial é contínua em R e (x,y,z)mapsto xyz é polinomial (logo contínua em R^3), a composição f1 é contínua em todo R^3.

Passo 3

Analisamos o segundo componente
f2(x,y,z)=x-yraiz1-x^2-y^2
Para que f2 esteja bem definida e contínua, precisamos de
1 - x^2 - y^2 > 0
(de modo que o radicando seja positivo e o denominador raiz1-x^2-y^2neq 0). Nesse conjunto aberto
D2=(x,y,z)inR^3mid x^2+y^2<1,
tanto o numerador x-y quanto o denominador são contínuos e o denominador não se anula, garantindo a continuidade de f2 em D2.

Passo 4

Analisamos o terceiro componente
f3(x,y,z)=11+x^2+z^2
Como 1+x^2+z^2>=1>0 para todo (x,y,z), o denominador nunca se anula e f3 é quociente de funções contínuas com denominador não nulo em R^3. Logo, f3 é contínua em todo R^3.

Passo 5

A função vetorial F é contínua num ponto se e somente se cada componente é contínua naquele ponto. O componente mais restritivo é f2, que exige x^2+y^2<1. Portanto, F é contínua exatamente no domínio
(x,y,z)inR^3mid x^2+y^2<1

Resposta

(x,y,z)inR^3mid x^2+y^2<1

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