Use integração por partes para calcular as integrais abaixo, durante a integração em alguns itens você vai precisar usar o método de integração por substituição.
\int \ln (5 x) \mathrm{d} x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \ln(5x)\,\mathrm{d}x
usando o método de integração por partes. Vamos precisar escolher funções u e \mathrm{d}v de modo a simplificar a integral.

Passo 2

Escolhemos
u = \ln(5x) \quad\text{e}\quad \mathrm{d}v = \mathrm{d}x.
Calculamos então
\mathrm{d}u = \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x \quad\text{e}\quad v = \int \mathrm{d}x = x.

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes,
\int u\,\mathrm{d}v = u\,v - \int v\,\mathrm{d}u,
temos
\int \ln(5x)\,\mathrm{d}x = x\ln(5x) - \int x\cdot\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x.

Passo 4

Observamos que x\cdot\frac{1}{x}=1, então
\int x\cdot\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x = \int 1\,\mathrm{d}x = x.
Substituindo de volta,
\int \ln(5x)\,\mathrm{d}x = x\ln(5x) - x + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

x\ln(5x) - x + C

Exercícios relacionados