Determine os pontos de continuidade de:
H(x, y)=cl(11+x^2+y^4, x^2 y^32 x^2+y^2), & se (x, y) neq(0,0) (1,1), & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado pede para determinar os pontos de continuidade da função H(x,y) definida por partes: para (x,y)neq(0,0) temos H(x,y)=l(tfrac11+x^2+y^4,tfracx^2y^32x^2+y^2r) e em (0,0) vale H(0,0)=(1,1). O conteúdo é continuidade de funções vetoriais de duas variáveis.

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0), as componentes de H são combinações de polinômios e funções racionais cujo denominador nunca zera (pois 1+x^2+y^4>0 e 2x^2+y^2>0). Logo cada componente é contínua neste domínio, e H é contínua em todos os pontos diferentes de (0,0).

Passo 3

Para verificar continuidade em (0,0), precisamos checar se lim(x,y)to(0,0) H(x,y) existe e se coincide com H(0,0)=(1,1).

Passo 4

A primeira componente é f1(x,y)=11+x^2+y^4. Como x^2+y^4to0 quando (x,y)to(0,0), temos lim(x,y)to(0,0)f1(x,y)=1.

Passo 5

A segunda componente é f2(x,y)=x^2y^32x^2+y^2. Se aproximarmos por uma reta y=kx, obtemos
f2(kx,x)=k^3x^5(2+k^2)x^2=k^32+k^2x^3to0
De modo geral f2(x,y) tende a zero em qualquer direção, logo lim(x,y)to(0,0)f2(x,y)=0.

Passo 6

Como o limite de H(x,y) ao se aproximar de (0,0) é (1,0) e difere de H(0,0)=(1,1), a função não é contínua em (0,0).

Resposta

Os pontos de continuidade de H são todos os pares (x,y)neq(0,0).

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