Determine os pontos críticos e classifique-os:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de
e classificá-los (máximo, mínimo ou ponto de sela). Vamos usar cálculo de derivadas: aplicaremos a regra da cadeia para achar
, resolver
e depois usar o teste da segunda derivada para classificar o ponto.
Passo 2
Calculamos
usando regra do produto simples (aqui é exponencial composta). Como
com
, temos
Passo 3
Para achar pontos críticos, resolvemos
. Como
para todo
, basta
Não há pontos onde
deixa de existir, pois
é diferenciável em
.
Passo 4
Agora classificamos usando a segunda derivada. Derivando
por regra do produto:
Passo 5
Avalia\mos
em
:
Como
, a função tem um máximo local em
. Observando que
quando
, esse máximo é também global.
Resposta
O único ponto crítico é
, onde
, e caracteriza-se como máximo local (e global).