Determine os pontos críticos e classifique-os:
g(x)=e^-x^2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de g(x)=e^-x^2 e classificá-los (máximo, mínimo ou ponto de sela). Vamos usar cálculo de derivadas: aplicaremos a regra da cadeia para achar g'(x), resolver g'(x)=0 e depois usar o teste da segunda derivada para classificar o ponto.

Passo 2

Calculamos g'(x) usando regra do produto simples (aqui é exponencial composta). Como g(x)=e^u com u=-x^2, temos
g'(x)=e^ucdot u' = e^-x^2cdot(-2x) = -2x,e^-x^2

Passo 3

Para achar pontos críticos, resolvemos g'(x)=0. Como e^-x^2neq0 para todo x, basta
-2x=0 Longrightarrow x=0
Não há pontos onde g' deixa de existir, pois g é diferenciável em R.

Passo 4

Agora classificamos usando a segunda derivada. Derivando g'(x)=-2x,e^-x^2 por regra do produto:
g''(x)=(-2),e^-x^2 + (-2x)l(e^-x^2cdot(-2x)r) =( -2 +4x^2 ),e^-x^2 =(4x^2-2),e^-x^2

Passo 5

Avalia\mos g'' em x=0:
g''(0)=(4cdot0^2-2),e^0 = -2 < 0
Como g''(0)<0, a função tem um máximo local em x=0. Observando que g(x)to0 quando lvert xrverttoinfty, esse máximo é também global.

Resposta

O único ponto crítico é x=0, onde g(0)=1, e caracteriza-se como máximo local (e global).

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