Determine os pontos críticos e classifique-os.
z=x^{2}+y^{3}-6 x y

Passo 1

O enunciado dá a função de duas variáveis
f(x,y)=x^{2}+y^{3}-6xy
e pede para achar os pontos críticos (onde o gradiente é nulo) e classificá-los (min, máx ou sela) usando a matriz Hessiana.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
f_x = \frac{\partial f}{\partial x}=2x-6y=0,
f_y = \frac{\partial f}{\partial y}=3y^{2}-6x=0.
Da primeira vem
2x-6y=0\implies x=3y.
Substituindo em 3y^{2}-6x=0:
3y^{2}-6(3y)=0\implies 3y^{2}-18y=0\implies y(y-6)=0,
logo y=0 ou y=6. Assim os pontos críticos são
(x,y)=(0,0)\quad\text{e}\quad(x,y)=(18,6).

Passo 3

Para classificar, usamos a matriz Hessiana:
f_{xx}=2,\quad f_{xy}=f_{yx}=-6,\quad f_{yy}=6y.
O determinante da Hessiana é
D(x,y)=f_{xx}\,f_{yy}-(f_{xy})^{2}=2\cdot(6y)-(-6)^{2}=12y-36.

Passo 4

Avaliando em cada ponto:
Em (0,0):
D(0,0)=12\cdot0-36=-36<0,
logo é ponto de sela.
Em (18,6):
D(18,6)=12\cdot6-36=72-36=36>0
e f_{xx}=2>0, logo é mínimo local.

Resposta

Os pontos críticos são (0,0), que é ponto de sela, e (18,6), que é mínimo local.

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