Determine os pontos críticos e classifique-os.
Passo 1
O enunciado dá a função de duas variáveis
e pede para achar os pontos críticos (onde o gradiente é nulo) e classificá-los (min, máx ou sela) usando a matriz Hessiana.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
Da primeira vem
Substituindo em
:
logo
ou
. Assim os pontos críticos são
Passo 3
Para classificar, usamos a matriz Hessiana:
O determinante da Hessiana é
Passo 4
Avaliando em cada ponto:
Em :
Em
logo é ponto de sela.
Em :
Em
e
, logo é mínimo local.
Resposta
Os pontos críticos são
, que é ponto de sela, e
, que é mínimo local.