Determine os pontos críticos e classifique-os.
z=5 x^{2}-3 x y+y^{2}-15 x-y+2

Passo 1

O enunciado pede para determinar os pontos críticos da função
z = 5x^{2} - 3xy + y^{2} - 15x - y + 2
e classificá-los (mínimo, máximo ou ponto de sela). O conteúdo envolvido é cálculo de derivadas parciais para achar os candidatos a extremos e análise da matriz Hessiana para classificação.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de z em relação a x e y:
\frac{\partial z}{\partial x} = 10x - 3y - 15,
\frac{\partial z}{\partial y} = -3x + 2y - 1.

Passo 3

Encontramos os pontos críticos resolvendo o sistema
\begin{cases} 10x - 3y - 15 = 0,\\\\ -3x + 2y - 1 = 0. \end{cases}
Da primeira equação vem 10x - 3y = 15.
Da segunda vem -3x + 2y = 1.
Multiplicando a primeira por 2 e a segunda por 3 e somando, obtemos
20x - 6y = 30,
-9x + 6y = 3,
11x = 33\quad\Longrightarrow\quad x = 3.
Substituindo em -3x + 2y = 1
-3\cdot 3 + 2y = 1 \quad\Longrightarrow\quad -9 + 2y = 1 \quad\Longrightarrow\quad y = 5.
Logo há um ponto crítico em (3,5).

Passo 4

Para classificar, formamos a matriz Hessiana H das segundas derivadas:
H = \begin{pmatrix} \frac{\partial^{2}z}{\partial x^{2}} & \frac{\partial^{2}z}{\partial x\,\partial y}\\[6pt] \frac{\partial^{2}z}{\partial y\,\partial x} & \frac{\partial^{2}z}{\partial y^{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & -3\\\\ -3 & 2 \end{pmatrix}.
O determinante de H é
D = 10\cdot 2 - (-3)^{2} = 20 - 9 = 11 > 0,
e o elemento \frac{\partial^{2}z}{\partial x^{2}} = 10 é positivo.]

Passo 5

Como D>0 e \frac{\partial^{2}z}{\partial x^{2}}>0, o ponto crítico (3,5) é um mínimo local.

Resposta

O único ponto crítico é (3,5) e ele é um mínimo local.

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