Encontre o valor de f^{\prime}(x) no valor de x indicado utilizando a definição de derivada de uma função no ponto.
f(x)=\frac{1}{x} em x=3 ;

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a função
f(x)=\frac{1}{x}
e queremos encontrar f'(3) usando a definição de derivada no ponto. Para isso, vamos usar
f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}
com a=3.

Passo 2

Aplicando a=3 na definição, montamos o quociente fundamental:
\frac{f(3+h)-f(3)}{h} =\frac{\frac{1}{3+h}-\frac{1}{3}}{h}.

Passo 3

Para simplificar, fazemos a diferença dentro do numerador com denominador comum 3(3+h):
\frac{1}{3+h}-\frac{1}{3} =\frac{3-(3+h)}{3(3+h)} =\frac{-h}{3(3+h)}.
Logo,
\frac{\frac{1}{3+h}-\frac{1}{3}}{h} =\frac{-h}{3(3+h)}\cdot\frac{1}{h} =-\frac{1}{3(3+h)}.

Passo 4

Agora basta calcular o limite quando h\to0:
f'(3) =\lim_{h\to0}\Bigl(-\frac{1}{3(3+h)}\Bigr) =-\frac{1}{3\cdot3} =-\frac{1}{9}.

Resposta

f'(3)=-\frac{1}{9}.

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