Encontre as soluções gerais das equações de Euler - Cauchy nos problemas seguintes.
x^3 y^(3)+3 x^2 y^prime prime+x y^prime+y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de Euler–Cauchy de terceira ordem
x^3y^(3)+3x^2y''+x,y'+y=0
e pede a solução geral. Para resolver isso, vamos usar o método padrão: assumir uma solução do tipo y=x^m e derivar a equação característica em m.

Passo 2

Assumindo y=x^m, temos
y' = m,x^m-1, y'' = m(m-1)x^m-2, y^(3)=m(m-1)(m-2)x^m-3
Substituindo em
x^3y^(3)+3x^2y''+x,y'+y=0
vem
m(m-1)(m-2)x^m ;+;3,m(m-1)x^m;+;m,x^m;+;x^m=0

Passo 3

Fatorando x^mneq0, a equação característica é
m(m-1)(m-2)+3m(m-1)+m+1=0
Expansão e simplificação dão
m^3+1=0,
ou seja
m^3=-1

Passo 4

As raízes de m^3=-1 são
m1=-1, m2,3=12pm iraiz32
Daí a solução geral complexa é
y=C1x^-1+C2x^12+iraiz32+C3x^12-iraiz32

Passo 5

Para escrever em forma real usamos
x^12pm iraiz32 = x^12e^pm iraiz32ln x = x^12l(cos!l(tfracraiz32ln xr) pm isin!l(tfracraiz32ln xr)r)
Reagrupando constantes reais, ficamos com
y = C1x^-1 + x^12l(Acos!l(tfracraiz32ln xr) + Bsin!l(tfracraiz32ln xr)r),
onde A e B são constantes arbitrárias.

Resposta

boxedy = C1x^-1 + x^12l(C2cos!l(tfracraiz32ln xr) + C3sin!l(tfracraiz32ln xr)r)

Exercícios relacionados