Determine:
Os pontos críticos da função f(x)=x^4+2 x^3+x^2+5 e classifique-os;

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos da função
f(x)=x^4+2x^3+x^2+5
e classificá-los como máximo local, mínimo local ou ponto de inflexão. Para isso vamos usar o fato de que pontos críticos ocorrem quando a derivada primeira se anula ou não existe, e classificá-los examinando o sinal da derivada segunda nesse ponto.

Passo 2

Calculemos a derivada primeira:
f'(x)=ddxl(x^4+2x^3+x^2+5r) =4x^3+6x^2+2x
Fatorando,
f'(x)=2x,(2x^2+3x+1)

Passo 3

Para achar os pontos críticos, resolvemos f'(x)=0:
2x,(2x^2+3x+1)=0
x=0 ou 2x^2+3x+1=0. A equação quadrática tem raízes
x=-3pmraiz9-84=-3pm14,
isto é,
x=-1 e x=-tfrac12
Logo, os pontos críticos são x=-1, x=-tfrac12 e x=0.

Passo 4

Para classificar, usamos a derivada segunda:
f''(x)=ddx(4x^3+6x^2+2x) =12x^2+12x+2
Avaliando em cada ponto:
- Em x=-1:
f''(-1)=12cdot 1+12cdot (-1)+2=12-12+2=2>0,
logo mínimo local em x=-1.
- Em x=-tfrac12:
f''l(-tfrac12r) =12cdot tfrac14+12cdot l(-tfrac12r)+2 =3-6+2=-1<0,
logo máximo local em x=-tfrac12.
- Em x=0:
f''(0)=2>0,
logo mínimo local em x=0.

Resposta

Os pontos críticos são
x=-1(mínimo local), x=-tfrac12(máximo local), x=0(mínimo local) íáí

Exercícios relacionados